Question

【题目】在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，AD⊥BC，垂足为G，且AD＝AB，∠EDF＝60°，其两边分别交边AB，AC于点E，F．

（1）连接BD，求证：△ABD是等边三角形；

（2）试猜想：线段AE、AF与AD之间有怎样的数量关系？并给以证明．

Answer 1

【答案】（1）详见解析；（2）AE+AF＝AD.证明见解析．

【解析】

（1）连接BD由等腰三角形的性质和已知条件得出∠BAD＝∠DAC＝，再由AD＝AB，即可得出结论；

（2）由△ABD是等边三角形，得出BD＝AD，∠ABD＝∠ADB＝60°，证出∠BDE＝∠ADF，由ASA证明△BDE≌△ADF，得出AF＝BE，即可求解．

（1）证明：连接BD，

∵AB＝AC，AD⊥BC，

∴∠BAD＝∠DAC＝ ∠BAC，

∵∠BAC＝120°，

∴，

∵AD＝AB，

∴△ABD是等边三角形；

（2）猜想：AE+AF＝AD，

理由如下：∵△ABD是等边三角形，

∴∠ABD＝∠ADB＝60°，AB＝BD＝AD

∵∠EDF＝60°，

∴∠BDE＝∠ADF，

在△BDE与△ADF中，

∴△BDE≌△ADF（ASA），

∴AF＝BE，

∴AB＝BE+AE＝AF+AE＝AD