Question

【题目】如图，已知：在坐标平面内，等腰直角中，，，点的坐标为，点的坐标为，交轴于点.

（1）求点的坐标；

（2）求点的坐标；

（3）如图，点在轴上，当的周长最小时，求出点的坐标；

（4）在直线上有点，在轴上有点，求出的最小值.

Answer 1

【答案】（1）点的坐标为；（2）点的坐标为；（3）点的坐标为；（4）最小值为9.

【解析】

（1）过C作直线EF∥x轴，分别过点A、B作直线EF的垂线，垂足分别为E、F，证明ΔACE≌ΔCBF，得到CF=AE，BF=CE，即可得到结论；

（2）分别过点A、B作x轴的垂线，垂足分别为G、H易证ΔAGD≌ΔBHD，得到GD=HD．由G(-3，0)，H(1，0)，即可得到结论；

（3）作点A(-5，1)关于轴的对称点A' (-5，-1)，连接AP，A' P，A' C．过A' 作A' R⊥y轴于R，则AP=A' P，根据ΔACP的周长=AC+AP+CP=AC+A'P+CP≥AC+A'C．根据△A'RC和△COP都是等腰直角三角形，得到PO=CO=4，从而得到结论．

（4）作点B关于直线AC的对称点B'．过B'作B'R⊥y轴于R，过B作BT⊥y轴于T．可证明△B'RC≌△BTC，根据全等三角形对应边相等可B'的坐标．过点B'作x轴的垂线交直线AC于点M，交x轴于点N，则BM+MN=B'M+MN．根据“垂线段最短”可得它的最小值即线段B'N的长．即可得到结论．

（1）如图，过C作直线EF∥x轴，分别过点A、B作直线EF的垂线，垂足分别为E、F，

∴∠E=∠F=90°，

∴∠EAC+∠ECA=90°．

∵∠ACB=90°，

∴∠BCF+∠ECA=90°，

∴∠BCF=∠EAC．

又∵AC=BC，

∴ΔACE≌ΔCBF，

∴CF=AE，BF=CE．

∵点A(-5，1)，点C(0，4)，

∴CF=AE=3，BF=CE=5，且5-4=1，

∴点B的坐标为(3，-1)；

（2）如图，分别过点A、B作x轴的垂线，垂足分别为G、H，

∴∠AGD=∠BHD=90°．

又∵∠ADG=∠BDH，AG=BH=1，

∴ΔAGD≌ΔBHD，

∴GD=HD．

∵G(-3，0)，H(1，0)，

∴GH=4，

∴GD=HD=2，

∴OD=OG-GD=3-2=1，

∴点D的坐标为(-1，0)；

（3）作点A(-5，1)关于轴的对称点A' (-5，-1)，连接AP，A' P，A' C．过A' 作A' R⊥y轴于R．

则AP=A' P，

∴ΔACP的周长=AC+AP+CP=AC+A'P+CP≥AC+A'C．

∵A'R=5，CR=CO+OR=4+1=5，

∴A'R=CR，

∴△A'RC是等腰直角三角形，

∴∠CA'R=45°．

∵A'R∥x轴，

∴∠CPO=∠CA'R=45°，

∴△COP是等腰直角三角形，

∴PO=CO=4，

∴点P的坐标为(-4，0)．

（4）如图，作点B(3，-1)关于直线AC的对称点B'．过B'作B'R⊥y轴于R，过B作BT⊥y轴于T．

∵BC=B'C，∠B'RC=∠BTC=90°，∠B'CR=∠BCT，

∴△B'RC≌△BTC，

∴B'R=BT=3，CR=CT=CO+OT=4+1=5，

∴OR=OC+CR=4+5=9，

∴B'(-3，9)．

过点B'作x轴的垂线交直线AC于点M，交x轴于点N，则BM+MN=B'M+MN．

根据“垂线段最短”可得它的最小值即线段B'N的长．

故BM+MN的最小值为9．