Question

2．实验与探究
（1）在图1，2，3中，给出平行四边形ABCD的顶点A，B，D的坐标（如图所示），写出图1，2，中的顶点C的坐标，它们分别是（5，2），（e+c，f）；
（2）在图4中，给出平行四边形ABCD的顶点A、B、D的坐标分别为（1，1），（4，2），（2，3），则顶点C的坐标为（5，4）；
（3）归纳与发现：通过对图1，2，3，4的观察和顶点C的坐标的探究，你会发现：无论平行四边形ABCD处于直角坐标系中哪个位置，当其顶点坐标为A（a，b），B（c，d），C（m，n），D（e，f）时，则四个顶点的横坐标a，c，m，e之间的等量关系为m=c+e-a，；纵坐标b，d，n，f之间的等量关系为n=d+f-b．（不必证明）

Answer 1

分析 （1）根据平行四边形的性质：对边平行且相等，得出图2，3中顶点C的坐标分别是（e+c，d），（c+e-a，d）；
（2）分别过点A，B，C，D作x轴的垂线，垂足分别为A₁，B₁，C₁，D₁，分别过A，B作AE⊥DD₁于E，BF⊥CC₁于点F．在平行四边形ABCD中，CD=BA，根据内角和定理，又因为BB₁∥CC₁，可推出∠EDA=∠FCB，△DEA≌△CFB．依题意得出AE=BF，DE=CF，设C（x，y）．由x-1=2-1，得x=5．由y-2=3-1，得y=4，继而推出点C的坐标．
（3）在平行四边形ABCD中，CD=BA，同理证明△BEA≌△CFD（同（2）证明）．然后推出AE=BF=a-c，DE=CF=d-b．又已知C点的坐标为（m，n），e-m=a-c，故m=e+c-a．由n-f=d-b，得出n=f+d-b．

解答 解：（1）利用平行四边形的性质：对边平行且相等，
得出图1、图2中顶点C的坐标分别是：（5，2）、（e+c，f），
故答案为：（5，2）、（e+c，f）；

（2）分别过点A，B，C，D作x轴的垂线，垂足分别为A₁，B₁，C₁，D₁，
分别过A，B作AE⊥DD₁于E，BF⊥CC₁于点F．
在平行四边形ABCD中，CD=BA，
又∵DD₁∥CC₁，
∴∠EDA+∠ADC+∠BCF=∠ABC+∠BCF+∠FCB=180度．
∴∠EDA=∠FCB．
又∵∠DEA=∠CFB=90°，
在△DEA与△CFB中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠ADE=∠BF}\\{∠AED=∠BFC}\\{AD=BC}\end{array}\right.$，
∴△DEA≌△CFB，
∴AE=BF=2-1，DE=CF=3-1
设C（x，y）．
由x-4=2-1，得x=5．
由y-2=3-1，得y=4，
∴C（5，4）；
故答案为：（5，4）
（3）无论平行四边形ABCD处于直角坐标系中哪个位置，当其顶点坐标为A（a，b），B（c，d），C（m，n），D（e，f）时，
由（2）得：m=c+e-a，n=d+f-b或m+a=c+e，n+b=d+f．
故答案为：m=c+e-a，n=d+f-b．

点评 此题主要考查了平行四边形的性质，平面直角坐标系内的坐标，平行线的性质等知识．理解平行四边形的特点结合平面直角坐标系是解决本题的关键．