Question

已知a、b、c为三角形的三边长，求证：方程a²x²-（a²+b²-c²）x+b²=0没有实数根．

Answer 1

考点：根的判别式,三角形三边关系

专题：证明题

分析：求出△，然后对△进行因式分解，利用三角形三边的关系可证明△＜0，因此得到答案．

解答：证明：∵a，b，c为△ABC的三边长，
∴a²≠0．
∴△=（a²+b²-c²）²-4a²•b²
=（a²+b²-c²-2ab）（a²+b²-c²+2ab）
=[（a-b）²-c²][（a+b）²-c²]，
=（a-b+c）（a-b-c）（a+b+c）（a+b-c），
又∵三角形任意两边之和大于第三边，
∴△＜0，
∴原方程没有实数根．

点评：本题考查了一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0，a，b，c为常数）根的判别式．当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．同时考查了因式分解和三角形的三边关系．