Question

【题目】如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=AC=4cm，若O是BC的中点，动点M在AB移动，动点N在AC上移动，且AN=BM ．

（1）证明：OM = ON；

（2）四边形AMON面积是否发生变化，若发生变化说明理由；若不变，请你求出四边形AMON的面积．

Answer 1

【答案】（1）见解析 （2）4ｃｍ２

【解析】试题分析：

(1) 分析条件可知，要证明OM=ON需要利用全等三角形进行. 易知△ABC是等腰直角三角形，根据“O是BC的中点”这一条件容易联想到利用等腰三角形“三线合一”的性质来构造全等三角形. 连接OA后容易发现△OAN与△OBM全等，进而得到OM=ON.

(2) 借助第(1)小题的辅助线作法可知，AO将四边形AMON分割为△OAN与△OAM. 由第(1)小题的证明可知，△OAN的面积等于△OBM的面积. 利用这一关系，实际上将四边形AMON的面积转化为了△OAB的面积. 因为△OAB的面积不受动点运动的影响，所以四边形AMON的面积不变. 根据等腰三角形的性质容易求得△OAB的面积，即得四边形AMON的面积.

试题解析：

(1) 连接OA. (如图)

∵在Rt△ABC中，AB=AC，

∴△ABC是等腰直角三角形，

∴∠ABC=45°，即∠ABO=45°，

∵O是BC的中点，且△ABC是等腰直角三角形，

∴AO⊥BC，

∴在Rt△AOB中，∠OAB=90°-∠ABO=90°-45°=45°，

∴∠OAB=∠ABO，

∴OA=OB，

∵O是BC的中点，且△ABC是等腰直角三角形，

又∵∠BAC=90°，

∴，

∴∠OAC=∠ABO=45°，即∠OAN=∠OBM，

∵在△OAN与△OBM中：

，

∴△OAN≌△OBM (SAS)，

∴ON=OM，即OM=ON.

(2) 在动点运动过程中，四边形AMON面积不变.

下面求解四边形AMON的面积.

连接OA.

由第(1)小题的证明可知：△OAN≌△OBM，

∴△OAN的面积等于△OBM的面积，

∵四边形AMON的面积等于△OAN的面积与△OAM的面积之和，

∴四边形AMON的面积等于△OBM的面积与△OAM的面积之和，

∵△OBM的面积与△OAM的面积之和等于△OAB的面积，

∴四边形AMON的面积等于△OAB的面积，

∵O是BC的中点，且△ABC是等腰直角三角形，

∴△OAB的面积等于△ABC的面积的一半，

∵AB=AC=4cm，

∴Rt△ABC的面积为： (cm2)，

∴△OAB的面积为： (cm2)，

∴四边形AMON的面积为：4cm2.