Question

17．在平面直角坐标系中，直线y=kx-k经过一定点P．
（1）直接写出P点坐标；
（2）以A（0，2），B（2，0），O（0，0）三点为顶点的三角形被直线y=kx-k分成两部分，若靠近原点O一侧那部分的面积为$\frac{5}{3}$，求k的值；
（3）在第（2）问条件下，将直线y=kx-k向上平移2个单位得到直线l，在直线l上找点C，使得△ACO为等腰三角形，求点C的坐标．

Answer 1

分析 （1）根据直线经过的点与k的值无关，可得点P的坐标；
（2）根据面积的和差，可得△PQB的面积，根据三角形的面积公式，可得Q点的坐标，根据待定系数法，可得答案；
（3）分类讨论：①当AO=OC时，②当AO=OC时，③当AC=OC时，根据勾股定理，可得关于x的方程，根据解方程，可得答案．

解答 解：（1）y=kx-k=k（x-1），
x=1时，y=0，即（1，0）
直线y=kx-k经过一定点Pp（1，0）；
（2）设直线y=kx-k交直线AB y=-x+2于Q，由题知，
三角形PQB的面积$\frac{1}{3}$，
即S_△PQB=$\frac{1}{2}$y_Q•PB=$\frac{1}{3}$，
解得y_Q=$\frac{2}{3}$，
当y_Q=$\frac{2}{3}$时，-x+2=$\frac{2}{3}$，解得x=$\frac{4}{3}$，即Q（$\frac{4}{3}$，$\frac{2}{3}$），
将Q代入直线y=kx-k，得$\frac{4}{3}$k-k=$\frac{2}{3}$，
解得k=2，．
（3）直线y=kx-k向上平移2个单位得到直线l：y=2x，
设点的C坐标为（x，2x），
①当AO=OC时，x²+（2x）²=2²，解得x₁=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，x₂=-$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，即C₁（$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，$\frac{4\sqrt{5}}{5}$），C₂（-$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，-$\frac{4\sqrt{5}}{5}$），
②当AO=OC时，x²+（2x-2）²=2²，解得x₁=0（不符合题意要舍去），x₂=$\frac{8}{5}$，C₃（$\frac{8}{5}$，$\frac{16}{5}$），
③当AC=OC时，x²+（2x）²=x²+（2x-2）²，解得x=$\frac{1}{2}$，C₄（$\frac{1}{2}$，1），
综上所述：C₁（$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，$\frac{4\sqrt{5}}{5}$），C₂（-$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，-$\frac{4\sqrt{5}}{5}$），C₃（$\frac{8}{5}$，$\frac{16}{5}$），C₄（$\frac{1}{2}$，1）．

点评 本题考查了一次函数的综合题，（1）直线恒经过的点的坐标与一次项的系数、常数项无关；（2）利用面积的和差得出Q点的坐标是解题关键；（3）分类讨论是解题关键，以防遗漏．