Question

如图，AB为⊙O的直径，CD为弦，且CD⊥AB，垂足为H．

（1）若∠BAC=30°，求证：CD平分OB．
（2）若点E为的中点，连接0E，CE．求证：CE平分∠OCD．
（3）若⊙O的半径为4，∠BAC=30°，则圆周上到直线AC距离为3的点有多少个？请说明理由．

Answer 1

（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）2，理由见解析.

试题分析：（1）根据圆周角定理由AB为⊙O的直径得到∠ACB=90°，而∠BAC=30°，所以∠B=60°，于是可判断△OBC为等边三角形，根据等边三角形的性质由CD⊥OB易得CD平分OB；
（2）由点E为的中点，根据垂径定理的推论得OE⊥AB，则OE∥CD，根据平行线的性质得∠OEC=∠ECD，而∠OEC=∠OCE，所以∠OCE=∠ECD；
（3）作OF⊥AC于F，交⊙O于G，根据含30度的直角三角形三边的关系得OF=OA=2，则GF=OG-OF=2，于是可得到在弧AC上没有一个点到AC的距离为3cm，在弧AEC上有两个点到AC的距离为3cm．
试题解析：（1）证明：∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∵∠BAC=30°，
∴∠B=60°，
而OC=OB，
∴△OBC为等边三角形，
∵CD⊥OB，
∴CD平分OB；
（2）证明：∵点E为的中点，
∴OE⊥AB，
而CD⊥AB，
∴OE∥CD
∴∠OEC=∠ECD，
∵OC=OE，
∴∠OEC=∠OCE，
∴∠OCE=∠ECD，
即CE平分∠OCD；
（3）圆周上到直线AC距离为3的点有2个．理由如下：
作OF⊥AC于F，交⊙O于G，如图，

∵OA=4，∠BAC=30°，
∴OF=OA=2，
∴GF=OG-OF=2，即在上到AC的最大距离为2cm，
∴在上没有一个点到AC的距离为3cm，
而在上到AC的最大距离为6cm，
∴在上有两个点到AC的距离为3cm．
考点: 圆的综合题.