Question

【题目】如图，在ABCD中，对角线BD平分∠ABC，过点A作AE∥BD，交CD的延长线于点E，过点E作EF⊥BC，交BC延长线于点F．

（1）求证：四边形ABCD是菱形；

（2）若∠ABC＝45°，BC＝2，求EF的长．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）EF=.

【解析】

（1）证明∠ADB=∠ABD,得出AB=AD,即可得出结论；
（2）由菱形的性质得出AB=CD=BC=2,证明四边形ABDE是平行四边形,∠ECF=∠ABC=45°,得出AB=DE=2,CE=CD+DE=4,在Rt△CEF中,由等腰直角三角形的性质和勾股定理即可求出EF的长．

(1)∵四边形ABCD是平行四边形,

∴AD∥BC,AB=CD,AB∥CD,

∴∠ADB=∠CBD,

∵BD平分∠ABC,

∴∠ABD=∠CBD,

∴∠ADB=∠ABD,

∴AB=AD,

∴平行四边形ABCD是菱形；

(2)∵四边形ABCD是菱形,

∴AB=CD=BC=2,

∵AB∥CD,AE∥BD,

∴四边形ABDE是平行四边形,∠ECF=∠ABC=45°,

∴AB=DE=2,

∴CE=CD+DE=4,

∵EF⊥BC,∠ECF=45°,

∴△CEF是等腰直角三角形,

∴EF=CF= .