Question

如图，在平面直角坐标系中直线AC交x轴于点A，交y轴于点C，过点C作直线CB⊥AC交x轴于点B，且AB=25，AO：CO=3：4，点P在线段OC上，且PO、PC的长是关于x的方程x²-12x+32=0的两根（PO＜PC）
（1）求AC、BC的长；
（2）若M为线段BC的中点，求直线PM的解析式；
（3）在平面内是否存在点Q，使以点A、C、P、Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在请直接写出点Q的坐标；若不存在请说明理由．

Answer 1

解：（1）解方程x²-12x+32=0，得x₁=4，x₂=8，
∵PO＜PC，
∴PC=8，PO=4，OC=PC+PO=12，
∵AO：CO=3：4，
∴AO==9，
在Rt△ABC中，AC==15，
∵CB⊥AC，
∴在Rt△ABC中，BC==20；

（2）取OB的中点N，连接MN，
∵M是BC的中点，OB=16，
∴MN=OC，MN∥OC，
∴M（8，6），P（0，4），
设直线PM为：y=kx+b，则，
解得：k=，b=4
∴直线PM：y=x+4；

（3）存在．Q点的坐标分别为：
（-9，-8），（-9，8），（9，16）．
分析：（1）解方程x²-12x+32=0，可得到PO、PC的长，即得到OC，再由AO：CO=3：4，得到OA的长，根据勾股定理可计算出AC和BC；
（2）取OB的中点N，连接MN，根据中位线的性质可确定M的坐标，然后根据待定系数法设直线PM为：y=kx+b，把P和M的坐标代入即可确定直线PM的解析式；
（3）分别以A、C、P为顶点的三角形的三条边为对角线作出三个平行四边形，根据四边形的性质即可得到Q的坐标．
点评：本题考查了利用待定系数法求直线的解析式：设直线P为：y=kx+b，然后把两个点的坐标代入确定k，b．也考查了一元二次方程的解和勾股定理以及平行四边形的性质．