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【题目】如图,∠BAD=CAE=90°,AB=AD,AE=AC,AFCB,垂足为F.

(1)求证:△ABC≌△ADE;(图1)

(2)求∠FAE的度数;(图1)

(3)如图2,延长CFG点,使BF=GF,连接AG.求证:CD=CG;并猜想CD2BF+DE的关系.

【答案】(1)证明见解析;(2)FAE=135°;(3)证明见解析.

【解析】

(1)根据题意和题目中的条件可以找出△ABC≌△ADE的条件;

(2)根据(1)中的结论和等腰直角三角形的定义可以得到∠FAE的度数;

(3)根据题意和三角形全等的知识,作出合适的辅助线即可证明结论成立.

(1)证明:∵∠BAD=CAE=90°,

∴∠BAC+CAD=90°,CAD+DAE=90°,

∴∠BAC=DAE,

BACDAE中,

∴△BAC≌△DAE(SAS);

(2)解:∵∠CAE=90°,AC=AE,

∴∠E=45°,

由(1)知BAC≌△DAE,

∴∠BCA=E=45°,

AFBC,

∴∠CFA=90°,

∴∠CAF=45°,

∴∠FAE=FAC+CAE=45°+90°=135°;

(3)证明:∵AFBG,

∴∠AFG=AFB=90°,

AFBAFG中,

∴△AFB≌△AFG(SAS),

AB=AG,ABF=G,

∵△BAC≌△DAE,

AB=AD,CBA=EDA,CB=ED,

AG=AD,ABF=CDA,

∴∠G=CDA,

CGACDA中,

∴△CGA≌△CDA,

CG=CD,

CG=CB+BF+FG=CB+2BF=DE+2BF,

CD=2BF+DE.

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