【题目】如图1,以为直径的半圆上有一动点,点为弧的中点,连接、相交于点,延长到点,使得,连接、.
(1)求证:是的切线;
(2)如图2,连接,若,求的值;
(3)如图3,若,.求的长.
【答案】(1)见解析 (2) (3)12
【解析】
(1)AB=AM,则∠ABM=∠AMB=∠EMC,点E为弧CF的中点,则∠EBC=∠ECM,而BC为直径,则∠BEC=90°,即可求解;
(2)证明∠ABF=∠MBF=α=∠MCE=∠ABF=∠ACB=α,则∠ABF+∠MBF+∠EBC=∠ABC=90°=3α,分别求出BF、BC、BE线段的长,即可求解;
(3)利用Rt△CEM∽Rt△BEC,即可求解.
(1)如图1,
AB=AM,∴∠ABM=∠AMB=∠EMC,
点E为弧CF的中点,则∠EBC=∠ECM,
∵BC为直径,∴∠BEC=90°,∠BFC=90°,
∴∠EMC+∠ECM=90°,
∴∠ABM+∠MBC=90°,
∴AB是⊙O的切线;
(2)如图2,
∵AF=FM,∠BFC=90°,
∴∠ABF=∠MBF=α=∠MCE,
而∠ABF=∠ACB=α,
∴∠ABF+∠MBF+∠EBC=∠ABC=90°=3α,
∴α=30°,
则BF=BC=r,同理BE=r,而BC=2r,
∴ = ;
(3)如图3,
tan∠ACB=
设:AB=5m,BC=12m,
则AC=13m,CM=AC-AM=8m,
∵∠EBC=∠ECM,
∴Rt△CEM∽Rt△BEC,
∴ ,
即:
解得:EC=12.
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【题目】如图,若二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)图象的对称轴为x=1,与y轴交于点C,与x轴交于点A、点B(﹣1,0),则
①二次函数的最大值为a+b+c;
②a﹣b+c<0;
③b2﹣4ac<0;
④当y>0时,﹣1<x<3,其中正确的个数是( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
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【题目】如图,在△ABC中,AB=AC,以AB为直径的⊙O分别交BC,AC于点D,E,连结EB,交OD于点F.
(1)求证:OD⊥BE.
(2)若DE=,AB=6,求AE的长.
(3)若△CDE的面积是△OBF面积的,求线段BC与AC长度之间的等量关系,并说明理由.
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【题目】有这样一个问题:探究函数的图象与性质.
下面是小东的探究过程,请补充完成:
(1)函数的自变量x的取值范围是 .
(2)在平面直角坐标系xOy中描出了图象上的一些点,请你画出函数的图象;
下表是y与x的几组对应值.
x | … | ﹣2 | ﹣1 | 0 | 1 | 1.4 | 2.4 | 2.5 | 3 | 4 | 5 | … |
y | … | ﹣3.25 | ﹣2.33 | ﹣1.50 | ﹣1 | ﹣1.27 | 3.9 | 3.5 | 3 | m | 4.33 | … |
(3)求m的值;
(4)根据图象写出此函数的一条性质.
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【题目】为落实“美丽抚顺”的工作部署,市政府计划对城区道路进行了改造,现安排甲、乙两个工程队完成.已知甲队的工作效率是乙队工作效率的倍,甲队改造360米的道路比乙队改造同样长的道路少用3天.
(1)甲、乙两工程队每天能改造道路的长度分别是多少米?
(2)若甲队工作一天需付费用7万元,乙队工作一天需付费用5万元,如需改造的道路全长1200米,改造总费用不超过145万元,至少安排甲队工作多少天?
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【题目】(1)定义:把四边形的某些边向两方延长,其他各边有不在延长所得直线的同一旁,这样的四边形叫做凹四边形.如图1,四边形为凹四边形.
(2)性质探究:请完成凹四边形一个性质的证明.
已知:如图2,四边形是凹四边形.
求证:.
(3)性质应用:
如图3,在凹四边形中,的角平分线与的角平分线交于点,若,,则 °.
(4)类比学习:
如图4,在凹四边形中,点分别是边的中点,顺次连接各边中点得到四边形.若,则四边形是 .(填写序号即可)
A.梯形 B.菱形 C.矩形 D.正方形.
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【题目】某校组织同学到离校15千米的社会实践基地开展活动.一部分同学骑自行车前往,另一部分同学在骑自行车的同学出发小时后,乘汽车沿相同路线行进,结果骑自行车的与乘汽车的同学同时到达目的地.已知汽车速度是自行车速度的3倍,求自行车的速度.
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【题目】如图,在四边形ABCD中,AD∥BC,∠ABC=∠ADC=90°,对角线AC,BD交于点O,DE平分∠ADC交BC于点E,连接OE.
(1)求证:四边形ABCD是矩形;
(2)若AB=2,求△OEC的面积.
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【题目】某商城销售A,B两种自行车.A型自行车售价为2 100元/辆,B型自行车售价为1 750元/辆,每辆A型自行车的进价比每辆B型自行车的进价多400元,商城用80 000元购进A型自行车的数量与用64 000元购进B型自行车的数量相等.
(1)求每辆A,B两种自行车的进价分别是多少?
(2)现在商城准备一次购进这两种自行车共100辆,设购进A型自行车m辆,这100辆自行车的销售总利润为y元,要求购进B型自行车数量不超过A型自行车数量的2倍,总利润不低于13 000元,求获利最大的方案以及最大利润.
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