Question

5．如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD交于点O，AC⊥AB，AB=2，且AC：BD=1：2，
（1）求AC的长；
（2）求△AOD的面积．

Answer 1

分析 （1）由题意，设OA=x．OB=2x，在Rt△AOB中，利用勾股定理即可求出x，即可解决问题．
（2）根据△AOD与△AOB的面积相等，即可解决问题．

解答 解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA=OC，OB=OD，
∵AC：BD=1：2，
∴OB=2OA，设OA=x．OB=2x，
在Rt△AOB中，∵AB²+OA²=OB²，
∴4+x²=4x²，
∴x=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
∴AC=2OA=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$．

（2）∵OB=OD，
∴S_△AOD=S_△AOB=$\frac{1}{2}$×2×$\frac{2\sqrt{3}}{3}$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．

点评 本题考查平行四边形的性质、勾股定理等知识，解题的关键是学会利用参数，构建方程解决问题，属于中考常考题型．