Question

14．如图，△ABC中，BD平分∠ABC，BC的中垂线交BC于点E，交BD于点F，连接CF．
（1）若∠A=60°，∠ABD=24°，求∠ACF的度数；
（2）若EF=4，BF：FD=5：3，S_△BCF=10，求点D到AB的距离．

Answer 1

分析 （1）根据角平分线定义求出∠ABC=2∠ABD=48°，∠DBC=∠ABD=24°，根据三角形内角和定理求出∠ACB，根据线段垂直平分线性质求出FC=FB，求出∠FCB，即可求出答案；
（2）过D作DG⊥AB于G，DH⊥BC于H，根据角平分线的性质得到DG=DH，通过△BEF∽△BHD，得到$\frac{EF}{DH}=\frac{BF}{BD}$，代入数据求得DH=$\frac{32}{5}$．即可得到结论．

解答 解：（1）∵BD平分∠ABC，∠ABD=24°，
∴∠ABC=2∠ABD=48°，∠DBC=∠ABD=24°，
∵∠A=60°，
∴∠ACB=180°-∠A-∠ACB=180°-60°-48°=72°，
∵FE是BC的中垂线，
∴FB=FC，
∴∠FCB=∠DBC=24°，
∴∠ACF=∠ACB-∠FCB=72°-24°=48°；

（2）过D作DG⊥AB于G，DH⊥BC于H，
∵BD平分∠ABC，
∴DG=DH，
∵EF⊥BC，
∴EF∥DH，
∴△BEF∽△BHD，
∴$\frac{EF}{DH}=\frac{BF}{BD}$，
∵EF=4，BF：FD=5：3，
∴DH=$\frac{32}{5}$．
∴DG=DH=$\frac{32}{5}$，
∴点D到AB的距离=$\frac{32}{5}$．

点评 本题考查了三角形内角和定理，线段垂直平分线性质，角平分线定义和性质，等腰三角形性质的应用，能熟记知识点是解此题的关键，题目比较好，难度适中．