Question

【题目】如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的切线，切点为A，BC交⊙O于点D，点E是AC的中点．

（1）试判断直线DE与⊙O的位置关系，并说明理由；

（2）若⊙O的半径为2，∠B＝50°，AC＝5，求图中阴影部分的周长．

Answer 1

【答案】（1）直线DE与⊙O相切，理由见解析；（2）阴影部分的周长＝5+．

【解析】

（1）连接OD，OE，AD，证明△OAE≌△ODE，可得∠ODE=∠OAE=90°，即OD⊥ED，所以直线DE与⊙O相切；
（2）根据阴影部分的周长= AE+DE +弧AD，再根据弧长的计算公式即可得出图中阴影部分的周长．

解：（1）直线DE与⊙O相切，理由如下：

连接OE、OD，如图，

∵AC是⊙O的切线，∴AB⊥AC，∴∠OAC＝90°，

∵点E是AC的中点，O点为AB的中点，

∴OE∥BC，

∴∠1＝∠B，∠2＝∠3，

∵OB＝OD，

∴∠B＝∠3，∴∠1＝∠2，

在△AOE和△DOE中：

，

∴△AOE≌△DOE（SAS）

∴∠ODE＝∠OAE＝90°，

∴DE⊥OD，

∵OD为⊙O的半径，

∴DE为⊙O的切线；

（2）∵DE、AE是⊙O的切线，

∴DE＝AE，

∵点E是AC的中点，

∴DE＝AE＝AC＝2.5，

又∠AOD＝2∠B＝2×50°＝100°，

∴阴影部分的周长＝2.5+2.5+＝5+．