Question

【题目】如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，过点A作AE⊥BC于点E，延长BC至F，使CF＝BE，连接DF．

（1）求证：四边形AEFD是矩形；（2）若BF＝8，DF＝4，求CD的长．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）CD＝5．

【解析】

（1）根据菱形的性质得到AD∥BC且AD＝BC，等量代换得到BC＝EF，推出四边形AEFD是平行四边形，根据矩形的判定定理即可得到结论，

（2）设BC＝CD＝x，则CF＝8﹣x根据勾股定理即可得到结论．

（1）证明：∵在菱形ABCD中，

∴AD∥BC且AD＝BC，

∵BE＝CF，

∴BC＝EF，

∴AD＝EF，

∵AD∥EF，

∴四边形AEFD是平行四边形，

∵AE⊥BC，

∴∠AEF＝90°，

∴四边形AEFD是矩形.

（2）解：设BC＝CD＝x，则CF＝8﹣x，

在Rt△DCF中，

∵x2＝（8﹣x）2+42 ，

∴x＝5，

∴CD＝5．