【题目】已知直线y=﹣ x+3与坐标轴分别交于点A,B,点P在抛物线y=﹣ (x﹣ )2+4上,能使△ABP为等腰三角形的点P的个数有( )
A.3个
B.4个
C.5个
D.6个
【答案】A
【解析】解:以点B为圆心线段AB长为半径做圆,交抛物线于点C、M、N点,连接AC、BC,如图所示.
令一次函数y=﹣ x+3中x=0,则y=3,
∴点A的坐标为(0,3);
令一次函数y=﹣ x+3中y=0,则﹣ x+3=0,
解得:x= ,
∴点B的坐标为( ,0).
∴AB=2 .
∵抛物线的对称轴为x= ,
∴点C的坐标为(2 ,3),
∴AC=2 =AB=BC,
∴△ABC为等边三角形.
令y=﹣ (x﹣ )2+4中y=0,则﹣ (x﹣ )2+4=0,
解得:x=﹣ ,或x=3 .
∴点E的坐标为(﹣ ,0),点F的坐标为(3 ,0).
△ABP为等腰三角形分三种情况:
①当AB=BP时,以B点为圆心,AB长度为半径做圆,与抛物线交于C、M、N三点;
②当AB=AP时,以A点为圆心,AB长度为半径做圆,与抛物线交于C、M两点,;
③当AP=BP时,作线段AB的垂直平分线,交抛物线交于C、M两点;
∴能使△ABP为等腰三角形的点P的个数有3个.
故选A.
【考点精析】本题主要考查了等腰三角形的判定的相关知识点,需要掌握如果一个三角形有两个角相等,那么这两个角所对的边也相等(简称:等角对等边).这个判定定理常用于证明同一个三角形中的边相等才能正确解答此题.
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【题目】如图,菱形ABCD的对角线相交于点O,AC=2,BD=2 ,将菱形按如图方式折叠,使点B与点O重合,折痕为EF,则五边形AEFCD的周长为 .
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【题目】如图,在四边形ABCD中,AD=BC,∠B=∠D,AD不平行于BC,过点C作CE∥AD交△ABC的外接圆O于点E,连接AE.
(1)求证:四边形AECD为平行四边形;
(2)连接CO,求证:CO平分∠BCE.
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【题目】如图,正比例函数y=ax与反比例函数y= (x>0)的图象交于点M( , ).
(1)求这两个函数的表达式;
(2)如图1,若∠AMB=90°,且其两边分别于两坐标轴的正半轴交于点A、B.求四边形OAMB的面积.
(3)如图2,点P是反比例函数y= (x>0)的图象上一点,过点P作x轴、y轴的垂线,垂足分别为E、F,PF交直线OM于点H,过作x轴的垂线,垂足为G.设点P的横坐标为m,当m> 时,是否存在点P,使得四边形PEGH为正方形?若存在,求出P点的坐标;若不存在,请说明理由.
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【题目】如图,已知△ABC中,AB=AC,把△ABC绕A点沿顺时针方向旋转得到△ADE,连接BD,CE交于点F.
(1)求证:△AEC≌△ADB;
(2)若AB=2,∠BAC=45°,当四边形ADFC是菱形时,求BF的长.
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【题目】如图,在平面直角坐标系中,点A(a,b)为第一象限内一点,且a<b.连结OA,并以点A为旋转中心把OA逆时针转90°后得线段BA.若点A、B恰好都在同一反比例函数的图象上,则 的值等于
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【题目】甲、乙、丙三位同学用质地、大小完全一样的纸片分别制作一张卡片a、b、c,收集后放在一个不透明的箱子中,然后每人从箱子中随机抽取一张.
(1)用列表或画树状图的方法表示三位同学抽到卡片的所有可能的结果;
(2)求三位同学中至少有一人抽到自己制作卡片的概率.
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【题目】已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图,其对称轴为直线x=1,给出下列结论:
①b2-4ac>0;②2a+b=0;③abc>0;④3a+c>0.
则正确的结论个数为( )
A.1
B.2
C.3
D.4
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