Question

如图在平面直角坐标系中，直线AB与y轴和x轴分别于点A、点B，与反比例函数在第一象限的图象交于点C（1，6）、点D（3，n），过点C作CE⊥y轴于E，过点D作DF⊥x轴于F．
（1）求m，n的值；
（2）求证：△AEC≌△DFB；
（3）求△COD的面积．

Answer 1

解：（1）将（1，6）代入y=得：6=，
解得：m=6，
∴反比例函数的解析式为：y=，
将（3，n）代入y=得：n==2；

（2）∵CE⊥y轴，DF⊥x轴，点C（1，6）、点D（3，2），
∴OE=6，CE=1，DF=2，OF=3，∠AEC=∠DFB=90°，
设直线AB的解析式为：y=kx+b，
∴，
解得：，
∴直线AB的解析式为：y=-2x+8，
∴A（0，8），B（4，0），
∴OA=8，OB=4，
∴AE=OA-OE=8-6=2，FB=OB-OF=4-3=1，
∴AE=DF，EC=FB，
在△AEC和△DFB中，
，
∴△AEC≌△DFB（SAS）；

（3）过点C作CG⊥x轴于G，
∵点C，D在反比例函数的图象上，
∴S_△COG=S_△ODF，
∴S_△COD=S_△COG+S_梯形DFGC-S_△ODF=S_梯形DFGC=（DF+CG）•GF=×（2+6）×（3-1）=8．
分析：（1）由点C（1，6）、点D（3，n）在反比例函数的图象上，利用待定系数法即可求得m的值，继而求得n的值；
（2）由CE⊥y轴，DF⊥x轴与（1）可得：OE=6，CE=1，DF=2，OF=3，∠AEC=∠DFB=90°，然后设直线AB的解析式为：y=kx+b，利用待定系数法即可求得直线AB的解析式，继而求得点A与B的坐标，继而可证得AE=DF，EC=FB，然后利用SAS，证得：△AEC≌△DFB；
（3）由S_△COD=S_△COG+S_梯形DFGC-S_△ODF=S_梯形DFGC，即可求得△COD的面积．
点评：此题是反比例函数的综合题，考查了待定系数法求函数的解析式、全等三角形的判定与性质以及三角形面积问题．此题难度较大，注意掌握数形结合思想、函数思想与方程思想的应用．