Question

12．观察下列等式：$\frac{1}{1×2}$=1-$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2×3}$=$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$，$\frac{1}{3×4}$=$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{4}$，将这三个等式的两边分别相加，得$\frac{1}{1×2}$+$\frac{1}{2×3}$+$\frac{1}{3×4}$=1-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{4}$=1-$\frac{1}{4}$=$\frac{3}{4}$．
（1）试猜想并写出：$\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$；
（2）直接写出计算结果：$\frac{1}{1×2}$+$\frac{1}{2×3}$+$\frac{1}{3×4}$+…+$\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{n}{n+1}$；
（3）探究并计算：$\frac{1}{2×4}$+$\frac{1}{4×6}$+$\frac{1}{6×8}$+…+$\frac{1}{2016×2018}$．

Answer 1

分析 （1）观察找出规律：左侧分子为1，分母是连续自然数的积，右侧被减数和减数的分子均为1，分母恰为左侧的两个自然数，由此可以写出结果；
（2）根据（1）的规律，将算式写出差的形式，计算即可；
（3）先探索当分母为连续偶数时如何写成差的形式，再计算．

解答 解：（1）观察找出规律：左侧分子为1，分母是连续自然数的积，右侧被减数和减数的分子均为1，分母恰为左侧的两个自然数，
所以：$\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$；
故答案为：$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$．
（2）：$\frac{1}{1×2}$+$\frac{1}{2×3}$+$\frac{1}{3×4}$+…+$\frac{1}{n（n+1）}$=1-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{4}$+…+$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$=1-$\frac{1}{n+1}$=$\frac{n}{n+1}$；
故答案为：$\frac{n}{n+1}$．
（3）$\frac{1}{2×4}$=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{4}$），$\frac{1}{4×6}$=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{4}$-$\frac{1}{6}$），$\frac{1}{n（n+2）}$=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+2}$）
所以：$\frac{1}{2×4}$+$\frac{1}{4×6}$+$\frac{1}{6×8}$+…+$\frac{1}{2016×2018}$=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{4}$）+$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{4}$-$\frac{1}{6}$）+…+$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{2016}$-$\frac{1}{2018}$）=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{4}$+$\frac{1}{4}$-$\frac{1}{6}$+…+$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+2}$）=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{2018}$）=$\frac{252}{1009}$．

点评 此题主要考查有理数的运算和规律研究，分析已知找出运算规律并准确计算是解题的关键．