Question

20．如图，抛物线y=-x²+2x+3与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，点D是抛物线的顶点，连接BC、BD．
（1）点D的坐标是（1，4）；
（2）在抛物线的对称轴上求一点M，使点M到点A的距离与到点C的距离之和最小，并求出此时点M的坐标．
（3）若点P在x轴上且位于点B右侧，且点P是线段AQ的中点，连接QD，且∠BDQ=45°，求点P坐标（请利用备用图解决问题）．

Answer 1

分析 （1）根据待定系数法，可得抛物线的顶点坐标；
（2）根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，可得PA=PB，根据两点之间线段最短，可得P在线段BC上，根据待定系数法，可得BC的解析式，根据自变量与函数值的对应关系，可得答案；
（3）根据勾股定理，可得BD的长，根据相似三角形的判定与性质，可得QN与BN的关系，根据等腰直角三角形的性质，可得DN与QN的关系，根据勾股定理，可得BQ的长，根据线段的和差，可得AQ的长，根据线段中点的性质，可得AP的长，根据线段的差，可得OP的长，可得P点坐标．

解答 解：（1）y=-x²+2x+3=-（x-1）²+4，
顶点D的坐标为（1，4）；
（2）如图1，
连结BC，交对称轴于点M，此时M为所求点，使得MA+MC达到最小值．
当x=0时，y=3．
∴C（0，3）．
当y=0时，-x²+2x+3=0，
解得：x₁=-1，x₂=3，
∴B（3，0）．
设BC所在直线的解析式为：y=kx+3，将B点坐标代入函数解析式，得
3k+3=0，
∴k=-1，
∴BC所在直线的解析式为：y=-x+3，
当x=1时，y=2；
∴M（1，2）；
（3）如图2，
连接QD，作QN⊥DB，交DB的延长线于N，
设对称轴与x轴的交点为点H．
∵点D坐标是（1，4）
∴点H坐标是（1，0）
∴DH=4，BH=2，
∴在Rt△BDH中，BD=$\sqrt{D{H}^{2}+B{H}^{2}}$=2$\sqrt{5}$
又∵∠QNB=∠DHB，∠QBN=∠DBH，
∴△QBN∽△DBH，
∴$\frac{QN}{DH}$=$\frac{BN}{BH}$，
∴$\frac{QN}{BN}$=$\frac{DH}{BH}$=$\frac{4}{2}$=2，
∴QN=2BN．
又∵∠BDQ=45°，
∴在Rt△DNQ中，∠DQN=45°，
∴DN=QN=2BN，
∴BN=BD=2$\sqrt{5}$，
∴QN=4$\sqrt{5}$．
∴在Rt△QBN中，BQ=$\sqrt{B{N}^{2}+N{Q}^{2}}$=10． 
∵AB=4，
∴AQ=AB+BQ=14．
∴AP=$\frac{1}{2}$ AQ=7
OP=AP-AO=7-1=6，
∴P（6，0）．

点评 本题考查了二次函数综合题，利用配方法得出顶点坐标；利用线段垂直平分线的性质，线段的性质得出P点的位置是解题关键；利用相似三角形的判定与性质得出BQ与BQ的关系是解题关键，又利用了等腰直角三角形的性质得出QN的长，利用勾股定理得出BQ的长．