Question

【题目】如图，分别以△ABC的边AC和BC为腰向外作等腰直角△DAC和等腰直角△EBC，连接DE.

（1）求证：△DAC∽△EBC；

（2）求△ABC与△DEC的面积比．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）

【解析】

（1）利用等腰直角三角形的性质证明△DAC∽△EBC；

（2）依据△DAC∽△EBC所得条件，证明△ABC与△DEC相似，通过面积比等于相似比的平方得到结果.

（1）证明：∵△EBC是等腰直角三角形

∴BC＝BE，∠EBC＝90°

∴∠BEC＝∠BCE＝45°．

同理∠DAC＝90°，∠ADC＝∠ACD＝45°

∴∠EBC＝∠DAC＝90°，∠BCE＝∠ACD＝45°．

∴△DAC∽△EBC．

（2）解：∵在Rt△ACD中， AC2＋AD2＝CD2，

∴2AC2＝CD2

∴,

∵△DAC∽△EBC

∴＝，

∴＝，

∵∠BCE＝∠ACD

∴∠BCE－∠ACE＝∠ACD－∠ACE，即∠BCA＝∠ECD，

∵在△DEC和△ABC中，＝，∠BCA＝∠ECD，

∴△DEC∽△ABC，

∴S△ABC:S△DEC＝＝.