Question

20．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=5，BC=12，动点P从点B开始沿边BC向点C以每秒2个单位长度的速度运动，动点Q从点C开始沿C-A-B向点B以每秒1个单位长度的速度运动，连接PQ，点P、Q分别从点B、C同时出发，当P点到达C点时，另一点也随之停止运动，设运动时间为t秒（t≥0）．
（1）当t=$\frac{30}{11}$秒时，PQ∥AB．
（2）在整个运动过程中，线段PQ的中点所经过的路程长为$\frac{5}{2}\sqrt{5}+\frac{\sqrt{221}}{26}$．

Answer 1

分析 （1）当CP：BC=CQ：AC时，PQ∥AB，则有（12-2t）：12=t：5，即可求出t的值；
（2）以点B为坐标原点，建立平面直角坐标系，由题意可知，当t=5时，点P运动到点D（10，0），DB=10，点Q运动到A点，BC的中点为M（6，0），AD的中点为N；当t=6时，点P运动到C点，点Q运动到K点，AK=1，CK的中点为F，此时P、Q均停止运动，则线段PQ的中点所经过的路程长为线段MN、NF的长度和，利用点M、N的坐标求出MN的长，利用△AKG∽△ABC求出AG、KG的长，进而得出点K、F的坐标，即可求出NF的长．

解答 解：（1）由题意知BP=2t，CP=12-2t，CQ=t，
当CP：BC=CQ：AC时，PQ∥AB，则有（12-2t）：12=t：5，
解得：t=$\frac{30}{11}$；
（2）如图，以点B为坐标原点，建立平面直角坐标系，点C的坐标为（12，0），点A的坐标为（12，5），
由题意可知，当t=5时，点P运动到点D（10，0），DB=10，点Q运动到A点，BC的中点为M（6，0），AD的中点为N；当t=6时，点P运动到C点，点Q运动到K点，AK=1，CK的中点为F，此时P、Q均停止运动，则线段PQ的中点所经过的路程长为线段MN、NF的长度和．
过K作KG⊥AC于G，KH⊥BC于H，
∵D（10，0），A（12，5），N为AD的中点，
∴N（11，$\frac{5}{2}$），
又∵M（6，0），
∴MN=$\sqrt{（6-11）^{2}+（0-\frac{5}{2}）^{2}}=\frac{5}{2}\sqrt{5}$；
∵AC=5，BC=12，
∴AB=13，
∵KG⊥AC，∠ACB=90°，
∴KG∥BC，
∴△AKG∽△ABC，
∴AK：AB=AG：AC=KG：BC，即1：13=AG：5=KG：12，
∴AG=$\frac{5}{13}$，KG=$\frac{12}{13}$，
∴CG=AC-AG=$\frac{60}{13}$，BH=BC-KG=$\frac{144}{13}$，
∴K$（\frac{144}{13}，\frac{60}{13}）$，
又∵C（12，0），F为KC的中点，
∴F$（\frac{150}{13}，\frac{30}{13}）$，
又∵N（11，$\frac{5}{2}$），
∴NF=$\sqrt{（11-\frac{150}{13}）^{2}+（\frac{5}{2}-\frac{30}{13}）^{2}}$=$\frac{\sqrt{221}}{26}$，
∴线段PQ的中点所经过的路程长为MN+NF=$\frac{5}{2}\sqrt{5}+\frac{\sqrt{221}}{26}$．
故答案为：（1）$\frac{30}{11}$； （2）$\frac{5}{2}$$\sqrt{5}$+$\frac{\sqrt{221}}{26}$．

点评 本题考查了相似三角形的判定与性质，点的轨迹问题，勾股定理的应用，坐标与图形性质，两点间的距离等知识，正确理解题意，准确画出图形是解题的关键，解题中注意数形结合思想的运用．