Question

9．如图，在平面直角坐标系中，C（-3，0），D（-1，0），点B在y轴正半轴上，且tan∠BCO=$\frac{\sqrt{3}}{3}$
（1）求直线CB的解析式；
（2）若点E从C出发，以每秒1个单位的速度沿射线CB运动，连接ED，设△BDE的面积为S，点E的运动时间为t，求S与t的函数关系式，并写出自变量的取值范围；
（3）将△BOD沿y轴翻折，D的对应点为A，在（2）的条件下，是否存在点E，使得A、B、E为顶点的三角形与△ABO相似？若存在，请直接写出E的坐标，若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）在直角三角形BCO中，由tan∠BCO的值，利用特殊角的三角函数值求出∠BCO的度数，根据C的坐标确定出OC的长，设OB=x，利用30度角所对的直角边等于斜边的一半得到BC=2x，利用勾股定理列出关于x的方程，求出方程的解得到x的值，确定出B坐标，设直线CB解析式为y=kx+b，把B与C坐标代入求出k与b的值，即可确定出CB解析式；
（2）分两种情况，一是E在线段CB上，一是E在CB的延长线上，分别由三角形BCD面积减去三角形CDE面积，以及三角形CDE面积减去三角形CDB面积，表示出S与t的关系式，求出t的范围即可；
（3）根据题意画出图形，分两种情况考虑：一是E与C重合时，一是E在CB延长线上，∠AEB=30°时，A、B、E为顶点的三角形与△ABO相似，分别求出E的坐标即可．

解答 解：（1）在Rt△BCO中，tan∠BCO=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴∠BCO=30°，
∵C（-3，0），即OC=3，
设BO=x，则有CB=2x，
根据勾股定理得：9+x²=4x²，
解得：x=$\sqrt{3}$，
∴BO=$\sqrt{3}$，即B（0，$\sqrt{3}$），
设直线CB解析式为y=kx+b，
把B与C坐标代入得：$\left\{\begin{array}{l}{-3k+b=0}\\{b=\sqrt{3}}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=\frac{\sqrt{3}}{3}}\\{b=\sqrt{3}}\end{array}\right.$，
则直线CB解析式为y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x+$\sqrt{3}$；
（2）分两种情况考虑：
当E在线段CB上时，如图1所示，连接DE，过E作EF⊥CD，

由题意得：CE=t，EF=$\frac{1}{2}$t，
则△BDE的面积为S=S_△CBD-S_△CED=$\frac{1}{2}$CD•BO-$\frac{1}{2}$CD•EF=$\frac{1}{2}$×2×$\sqrt{3}$-$\frac{1}{2}$×2×$\frac{1}{2}$t=$\sqrt{3}$-$\frac{1}{2}$t（0≤t≤2$\sqrt{3}$）；
当E在线段CB延长线上时，如图2所示，

由题意得：CE=t，EF=$\frac{1}{2}$t，
则△BDE的面积为S=S_△CDE-S_△CBD=$\frac{1}{2}$CD•EF-$\frac{1}{2}$CD•OB=$\frac{1}{2}$×2×$\frac{1}{2}$t-$\frac{1}{2}$×2×$\sqrt{3}$=$\frac{1}{2}$t-$\sqrt{3}$（t＞2$\sqrt{3}$）；
（3）如图所示：

由折叠的性质得：△AOB≌△DOB，
∴OA=OD=1，AB=DB=2，∠ABO=∠OBD=30°，
∵∠OBC=60°，∠ABO=30°，
∴∠ABC=90°，即AB⊥CE，
当E与C重合时，△ABO∽△EAB，此时E（-3，0）；
当E在线段CB延长线上时，作EF⊥x轴，要使△ABO∽△AEB，需要∠AEB=∠ABO=30°，
在Rt△ABE中，AB=2，则有AE=2AB=4，BE=2$\sqrt{3}$，
在△AEB和△AEF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠ABE=∠AFE=90°}\\{∠EBA=∠EAF=60°}\\{AE=AE}\end{array}\right.$，
∴△AEB≌△AEF（AAS），
∴EF=BE=2$\sqrt{3}$，AF=AB=2，
∴OF=OA+AF=1+2=3，
此时E坐标为（3，2$\sqrt{3}$），
综上，满足题意E的坐标为（-3，0）或（3，2$\sqrt{3}$）．

点评 此题属于一次函数综合题，涉及的知识有：含30度直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，坐标与图形性质，待定系数法求一次函数解析式，以及相似三角形的判定，熟练掌握待定系数法是解本题第一问的关键．