Question

如图，在平面直角坐标系中，已知点D为函数y=（x＞0）上 的一点，四边形ABCD是直角梯形（点B在坐标原点处），AD∥BC，∠B=90°，A（0，3），C（4，0），点P从A出发，以3个单位/秒的速度沿直线AD向右运动，点Q从点C同时出发，以1个单位/秒的速度沿直线CB向左运动．
（1）求点D的坐标；
（2）从运动开始，经过多少时间以点P、Q、C、D为顶点的四边形为平行四边形？
（3）当运动时间t=秒时，在y轴上找一点M，使得△PCM是以PC为底的等腰三角形时，请求出点M的坐标．

Answer 1

解：（1）∵点D的纵坐标为3，∴3=，
∴x=6，
∴D（6，3）
（2）设运动时间为t秒，则AP=3t，PD=|6-3t|，CQ=t．
∵PD∥CQ，故当PD=CQ时，可得平行四边形，
∴|6-3t|=t，
则6-3t=t，或6-3t=-t．
∴t=1.5秒或3秒．
（3）当t=s时，AP=×3=2，P为（2，3）．
设M（0，y），则MC²=OM²+OC²=4²+y²，PM²=PA²+AM²=2²+（3-y）²
PC²=PE²+CE²=3²+2²
∵△PMC是以PC为底的等腰三角形
则MC=PM，则4²+y²=2²+（3-y）²，y=-；
∴当M的坐标为（0，-）
分析：（1）点D的纵坐标为3，把y=3代入反比例函数的解析式，求得x的值，则D的坐标可以得到；
（2）P、Q、C、D为顶点的四边形为平行四边形，则PD=CQ，据此即可列出方程，求得t的值；
（3）当运动时间t=秒时，首先求得P、Q的坐标，根据△PMC是以PC为底的等腰三角形，即可列出方程，求得M的坐标．
点评：本题是反比例函数、等腰三角形的性质、以及平行四边形的判定的综合应用，正确理解方程思想是解题的关键．