Question

14．在△ABC中，角A、B、C的对边分别是a、b、c，若tanA=2tanB，a²-b²=$\frac{1}{3}$c，则c=1．

Answer 1

分析 作辅助线CD⊥AB于点D，根据在△ABC中，角A、B、C的对边分别是a、b、c，若tanA=2tanB，a²-b²=$\frac{1}{3}$c，可以求得a、b、c之间的关系，从而可以得到c的值．

解答 解：作CD⊥AB于点D，如下图所示，

∵在△ABC中，角A、B、C的对边分别是a、b、c，若tanA=2tanB，a²-b²=$\frac{1}{3}$c，AB=c，
∴$\frac{CD}{AD}=2×\frac{CD}{BD}$，（CD²+BD²）-（CD²+AD²）=$\frac{1}{3}c$，
∴BD=2AD，$B{D}^{2}-A{D}^{2}=\frac{1}{3}c$，
∵AB=AD+BD=c，
∴BD=$\frac{2}{3}c$，AD=$\frac{1}{3}c$，$B{D}^{2}-A{D}^{2}=\frac{1}{3}c$，
解得，c=1，
故答案为：1．

点评 本题考查解直角三角形，解题的关键是找出题目中各边之间的关系，然后找出所求问题需要的条件．