Question

【题目】如图，顶点为A的抛物线y=a（x+2）2﹣4交x轴于点B（1，0），连接AB，过原点O作射线OM∥AB，过点A作AD∥x轴交OM于点D，点C为抛物线与x轴的另一个交点，连接CD．

（1）求抛物线的解析式、直线AB的解析式；

（2）若动点P从点O出发，以每秒1个单位长度的速度沿线段OD向点D运动，同时动点Q从点C出发，以每秒2个单位长度的速度沿线段CO向点O运动，当其中一个点停止运动时另一个点也随之停止运动．

问题一：当t为何值时，△OPQ为等腰三角形？

问题二：当t为何值时，四边形CDPQ的面积最小？并求此时PQ的长．

Answer 1

【答案】（1）（2）PQ=

【解析】

试题分析：（1）把点B坐标代入抛物线解析式即可求出a的值，写出顶点A的坐标，运用待定系数法即可求出直线AB的解析式；

（2）问题一，先用t表示OQ，OP的长度，再分类列出方程求解即可得出t的值，问题二：写出四边形面积关于t的二次函数，求最大值即可．

试题解析：（1）由顶点为A的抛物线y=a（x+2）2﹣4交x轴于点B（1，0）可得：

0=a（1+2）2﹣4，解得：a=，

∴抛物线的解析式：，

顶点A（﹣2，﹣4），

设直线AB：y=bx+k，带入点A，B两点坐标得：，

解得：，

∴直线AB的解析式：，

（2）如图：

∵OD∥AB，所以得直线OD：，

∵AD∥x轴，解得点D（﹣3，﹣4），

解得OD=5，tan∠COD=，sin∠COD=，cos∠COD=，

把y=0带入抛物线解析式得： ，

解得：x=1，或x=﹣5，

所以点C（﹣5，0），

∴OC=5，

由2t≤5，得t≤2.5，

OP=t，OQ=5﹣2t，

当OP=OQ时，有：t=5﹣2t，解得t=，

当OQ=QP时，有：t=2（5﹣2t）×，解得t=，

当QP=OP时，有：5﹣2t=2t×，解得t=，

综上所述，当t为，，时，△OPQ为等腰三角形；

四边形CDPQ的面积==×5×4﹣×（5﹣2t）×t×=，

所以当时，四边形CDPQ的面积有最小值，

此时，OQ=，OP=，sin∠COD=，cos∠COD=，

可求得PQ=．