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    精英家教网 > 初中数学 > 题目详情
    如图，等腰直角三角形ABC的腰长是2，∠ABC=Rt∠，以AB为直径作半圆O，M是BC上一动点（不运动至点B、C，过点M引半圆O的切线，切点是P．过点A作AB的垂线AN，交切线MP于点精英家教网N，AC与ON，MN分别交于点E，F，设BM=x，y=
    △CMF周长△ANF周长
    ．
    （1）证明：∠MON是直角；
    （2）求y关于x的函数关系式及自变量x的取值范围；当∠CMF=120°时，求y的值；
    （3）当F、M、C为顶点的三角形与△AEO相似时，求∠CMF的度数．
    分析：（1）连接OP，根据切线长定理和切线的性质定理，易得∠AON=∠PON，同理可得∠POM=∠BOM，于是得到∠AON+∠BOM=∠PON+∠POM，可知∠MON是直角；
    （2）由于三角形周长的比等于相似比，所以将y=
    △CMF周长
    △ANF周长
    转化为y=
    CM
    AN
    =
    2-X
    AN
    ，AN与BM的比例关系可通过证△AON和BMO相似求得；
    （3）本题要分两种情况进行讨论：
    ①∠AON与∠CMF对应相等，那么∠AOP=2∠CMF，根据∠POB+∠FMB=180°，即可求出∠CMF的度数；
    ②∠AON与∠CFM对应相等，那么∠POE=∠PFE，两角都加上一个对顶角后可得出∠AEO为直角，那么∠AON和∠CFM均为45°，由此可得出∠CMF的度数．
    解答：（1）证明：连接OP，根据切线长定理和切线的性质定理，
    得∠AON=∠PON，同理可得∠POM=∠BOM，
    两式相加得∠AON+∠BOM=∠PON+∠POM=180°×
    1
    2
    =90°，
    ∠MON是直角；

    （2）解：∵∠MON=90°
    ∴∠NOA+∠MOB=90°
    又∠NOA+∠ANO=90°
    ∴∠ANO=∠MOB
    ∴△ANO∽△BOM
    ∴
    AN
    OB
    =
    OA
    BM
    ，即AN•BM=1，AN=
    1
    x

    ∵AN∥BC
    ∴y=
    △CMF的周长
    △ANF的周长
    =
    CM
    AN
    =
    2-x
    1
    x
    =-x2+2x（0＜x＜2）
    因为∠CMF=120°，∠PMB=60°
    所以∠OMB=30°，BM=
    		3
    OB=
    		3

    即x=
    		3

    ∴y=2
    		3
    -3；

    （3）解：∵∠CAB=∠C=45°，因此分两种情况讨论：
    ①∠CMF=∠AOE，△AOE∽△CMF精英家教网
    易知∠AON=∠NOP=∠CMF，
    ∴∠POB=180°-2∠CMF，∠FMB=180°-∠CMF
    ∵∠BMF+∠POB=180°
    ∴180°-2∠CMF+180°-∠CMF=180°
    ∴∠CMF=60°；
    ②∠CFM=∠AEO，△CFM∽△AOE，
    易知∠PON=∠AON=∠CFM
    ∴∠PFE=∠POE
    ∵∠OPF=90°
    ∴∠OEF=90°
    ∴∠AON=∠CFM=45°
    ∴∠CMF=90°．
    点评：本题主要考查了切线的性质、切线长定理、等腰直角三角形的性质、相似三角形的判定和性质等知识点，综合性较强．
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    ．

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    A、精英家教网B、精英家教网C、精英家教网D、精英家教网

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    AE
    =
    		2
    AE
    AC
    ；
    （2）若E为BC的中点，求
    DB
    DA
    的值．

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