Question

如图，等腰△ABC的周长为16，底边BC=4，AB=AC，∠A=36°，线段AB的垂直平分线交AB于点D，交AC于点E，连接BE．则下列说法中错误的是（　　）

• A、△CBE是等腰三角形
• B、BE平分∠ABC
• C、△ABE的周长为12
• D、△CBE的周长为10

Answer 1

考点：线段垂直平分线的性质,等腰三角形的性质

专题：

分析：分别根据等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质对各选项进行逐一分析即可．

解答： 解：∵等腰△ABC中，AB=AC，∠A=36°，
∴∠C=∠ABC=

180°-36°

2

=72°．
∵DE是线段AB的垂直平分线，
∴AE=BE，
∴∠ABE=∠A=

1

2

∠ABC=36°，
∴∠CBE=∠ABC-∠ABE=72°-36°=36°，
∴∠BEC=180°-∠C-∠CBE=180°-72°-36°=72°，
∴△CBE是等腰三角形，BE平分∠ABC，故A、B正确；
∵等腰△ABC的周长为16，底边BC=4，AB=AC，
∴AB=AC=

16-4

2

=6．
∵∠A=∠EBC，∠C=∠C，
∴△CBE∽△BAC，
∴

AB

BC

=

BC

CE

，即

6

4

=

4

CE

，解得CE=

8

3

，
∴AE=BE=6-

8

3

=

10

3

，
∴△ABE的周长=AB+AE+BE=6+

10

3

+

10

3

=

38

3

，故C错误；
∵BC=4，BE+CE=AC=6，
∴△CBE的周长=BC+AC=4+6=10，故D正确．
故选C．

点评：本题考查的是线段垂直平分线的性质，熟知线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等是解答此题的关键．