Question

如图，在等边三角形△ABC中，以AB为直径的⊙O交BC于点D，交AC于点F，过D作⊙O的切线交AC于E．若DE=2，则⊙O的面积等于

 

．

Answer 1

考点：切线的性质

专题：

分析：连接OD，易证得△OBD是等边三角形，得出∠C=∠ODB，证得OD∥AC，进而证得CD=DB，根据切线的性质证得∠ODE=90°，即可证得∠EDC=30°，从而证得△CDE是直角三角形，通过解直角三角形求得CD，即可求得圆的半径，根据圆的面积公式即可求得．

解答： 解：连接OD，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠A=∠B=∠C=60°，
∴OD=OB，
∴△OBD是等边三角形，
∴∠ODB=60°，
∴∠C=∠ODB，
∴OD∥AC，
∴OA=OB，
∴CD=DB，
∵DE是⊙O的切线，
∴OD⊥DE，
∵∠ODC=120°，
∴∠EDC=30°，
∴∠DEC=180°-∠C-∠EDC=180°-60°-30°=90°，
∴CD=

DE

3 2

=

2

3 2

=

4 3

3

，
∴BD=

4 3

3

=OB，
∴S=（

4 3

3

）²π=

16

3

π．
故答案为

16

3

π．

点评：本题考查了等边三角形的判定和性质，切线的性质，平行线的判定和性质，以及解直角三角形等，连接OD得出OD⊥DE是本题的关键．