Question

在正方形ABCD中，E、F分别是AB、CD上的点，把EF上方部分沿EF翻折，若A点正好落在BC上A′处，D点落在正方形外D′处，又AD=18，A′B=6，求四边形AEFD的面积．

Answer 1

考点：翻折变换（折叠问题）

专题：计算题

分析：先根据折叠的性质得AE=A′E，FD′=FD，∠EA′G=∠A=90°，∠D′=∠D=90°，设AE=x，则BE=18-x，A′E=x，在Rt△A′BE中，根据勾股定理得6²+（18-x）²=x²，解得x=10，则AE=10，BE=8；再证明Rt△A′EB∽Rt△GA′C，利用相似比得CG=9，在Rt△A′CG中，利用勾股定理计算出A′G=15；设FD=y，则FD′=y，FG=18-9-y=9-y，接着证明Rt△GFD′∽Rt△GA′C，利用相似比得到

y

12

=

9-y

15

，解得y=4，即DF=4，最后根据梯形的面积公式计算四边形AEFD的面积．

解答：解：∵正方形ABCD中，把EF上方部分沿EF翻折，若A点正好落在BC上A′处，D点落在正方形外D′处，
∴AE=A′E，FD′=FD，∠EA′G=∠A=90°，∠D′=∠D=90°，
设AE=x，则BE=18-x，A′E=x，
在Rt△A′BE中，∵A′B²+BE²=A′E²，
∴6²+（18-x）²=x²，解得x=10，
∴AE=10，BE=8，
∵∠EA′B+∠CA′G=90°，∠EA′B+∠A′EB=90°，
∴∠A′EB=∠CA′G，
∴Rt△A′EB∽Rt△GA′C，
∴

CG

A′B

=

A′C

BE

，即

CG

6

=

18-6

8

，解得CG=9，
在Rt△A′CG中，A′G=

A′C2+CG2

=15，
设FD=y，则FD′=y，FG=18-9-y=9-y，
∵∠FGD′=∠A′GC，
∴Rt△GFD′∽Rt△GA′C，
∴

FD′

A′C

=

FG

A′G

，即

y

12

=

9-y

15

，解得y=4，
即DF=4，
∴四边形AEFD的面积=

1

2

（4+10）×18=126．

点评：本题考查了折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．也考查了正方形的性质、勾股定理和相似三角形的判定与性质．