Question

【题目】提出问题：（1）如图①，正方形ABCD中，点E，点F分别在边AD和边CD上，若正方形边长为4，DE+DF＝4，则四边形BEDF的面积为　 ．

探究问题：（2）如图②，四边形ABCD，AB＝BC＝4，∠ABC＝60°，∠ADC＝120°，点E、F分别是边AD和边DC上的点，连接BE，BF，若ED+DF＝3，BD＝2，求四边形EBFD的面积；

解决问题：（3）某地质勘探队为了进行资源助测，建立了如图③所示的一个四边形野外勘查基地，基地相邻两侧边界DA、AB长度均为4km，∠DAB＝90°，由于勘测需要及技术原因，主勘测仪C与基地边缘D、B夹角为90°（∠DCB＝90°），在边界CD和边界BC上分别有两个辅助勘测仪E和F，辅助勘测仪E和F与主勘测仪C的距离之和始终等于4km（CE+CF＝4）．为了达到更好监测效果，需保证勘测区域（四边形EAFC）面积尽可能大．请问勘测区域面积有没有最大值，如果有求出最大值，如果没有，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）8；（2）；（3）有，四边形EAFC的面积最大值为8km2

【解析】

提出问题：

（1）由四边形BEDF的面积＝S△DEB+S△DFB，可求解；

探究问题：

（2）如图②，连接AC，过点B作BM⊥AD，BN⊥CD，通过证明点A，点B，点C，点D四点共圆，可得∠BAC＝∠BDC＝60°，∠ADB＝∠ACB＝60°，由直角三角形的性质可求BM＝BN＝MD＝，由四边形BEDF的面积＝S△DEB+S△DFB，可求解；

解决问题：

（3）如图③，连接AC，BD，过点A作AM⊥CD，AN⊥BC，通过证明点A，点B，点C，点D四点共圆，且BD是直径，可得∠ACM＝∠ABD＝45°，∠ADB＝∠ACB＝45°，由直角三角形的性质可求AM＝CM＝AC，AN＝CN＝AC，由面积关系可求解．

解：提出问题：

（1）如图①，连接BD，

∵四边形BEDF的面积＝S△DEB+S△DFB，

∴四边形BEDF的面积＝DE×AB+DF×BC＝×4×（DE+DF）＝8，

故答案为：8；

探究问题：

（2）如图②，连接AC，过点B作BM⊥AD，BN⊥CD，

∵AB＝BC＝4，∠ABC＝60°，

∴△ABC是等边三角形，

∴∠BAC＝∠ACB＝60°，

∵∠ABC＝60°，∠ADC＝120°，

∴点A，点B，点C，点D四点共圆，

∴∠BAC＝∠BDC＝60°，∠ADB＝∠ACB＝60°，

∵BM⊥AD，BN⊥CD，

∴∠MBD＝30°，∠DBN＝30°，且BD＝2，

∴MD＝DN＝BD＝，

∴BM＝BN＝MD＝，

∵四边形BEDF的面积＝S△DEB+S△DFB，

∴四边形BEDF的面积＝DE×BM+×DF×BN＝××（DE+DF）＝；

解决问题：

（3）如图③，连接AC，BD，过点A作AM⊥CD，AN⊥BC，

∵AB＝AD＝4km，∠DAB＝90°，

∴∠ADB＝∠ABD＝45°，BD＝4km，

∵∠DAB+∠BCD＝90°+90°＝180°，

∴点A，点B，点C，点D四点共圆，且BD是直径，

∴∠ACM＝∠ABD＝45°，∠ADB＝∠ACB＝45°，

∵AM⊥CD，AN⊥BC，

∴∠MAC＝∠MCA＝45°，∠NAC＝∠ACN＝45°，

∴AM＝CM＝AC，AN＝CN＝AC，

∵四边形EAFC的面积＝S△ACE+S△AFC，

∴四边形EAFC的面积＝CE×AM+×CF×AN＝×AM×（CE+CF）＝AC×4＝AC，

∴当AC为最大值时，四边形EAFC的面积有最大值，

∵AC是以BD为直径的圆中的弦，

∴AC的最大值为直径，

∴当AC＝4km，四边形EAFC的面积最大值为8km2．