【题目】提出问题:(1)如图①,正方形ABCD中,点E,点F分别在边AD和边CD上,若正方形边长为4,DE+DF=4,则四边形BEDF的面积为 .
探究问题:(2)如图②,四边形ABCD,AB=BC=4,∠ABC=60°,∠ADC=120°,点E、F分别是边AD和边DC上的点,连接BE,BF,若ED+DF=3,BD=2,求四边形EBFD的面积;
解决问题:(3)某地质勘探队为了进行资源助测,建立了如图③所示的一个四边形野外勘查基地,基地相邻两侧边界DA、AB长度均为4km,∠DAB=90°,由于勘测需要及技术原因,主勘测仪C与基地边缘D、B夹角为90°(∠DCB=90°),在边界CD和边界BC上分别有两个辅助勘测仪E和F,辅助勘测仪E和F与主勘测仪C的距离之和始终等于4km(CE+CF=4).为了达到更好监测效果,需保证勘测区域(四边形EAFC)面积尽可能大.请问勘测区域面积有没有最大值,如果有求出最大值,如果没有,请说明理由.
【答案】(1)8;(2);(3)有,四边形EAFC的面积最大值为8km2
【解析】
提出问题:
(1)由四边形BEDF的面积=S△DEB+S△DFB,可求解;
探究问题:
(2)如图②,连接AC,过点B作BM⊥AD,BN⊥CD,通过证明点A,点B,点C,点D四点共圆,可得∠BAC=∠BDC=60°,∠ADB=∠ACB=60°,由直角三角形的性质可求BM=BN=MD=
,由四边形BEDF的面积=S△DEB+S△DFB,可求解;
解决问题:
(3)如图③,连接AC,BD,过点A作AM⊥CD,AN⊥BC,通过证明点A,点B,点C,点D四点共圆,且BD是直径,可得∠ACM=∠ABD=45°,∠ADB=∠ACB=45°,由直角三角形的性质可求AM=CM=AC,AN=CN=
AC,由面积关系可求解.
解:提出问题:
(1)如图①,连接BD,
∵四边形BEDF的面积=S△DEB+S△DFB,
∴四边形BEDF的面积=DE×AB+
DF×BC=
×4×(DE+DF)=8,
故答案为:8;
探究问题:
(2)如图②,连接AC,过点B作BM⊥AD,BN⊥CD,
∵AB=BC=4,∠ABC=60°,
∴△ABC是等边三角形,
∴∠BAC=∠ACB=60°,
∵∠ABC=60°,∠ADC=120°,
∴点A,点B,点C,点D四点共圆,
∴∠BAC=∠BDC=60°,∠ADB=∠ACB=60°,
∵BM⊥AD,BN⊥CD,
∴∠MBD=30°,∠DBN=30°,且BD=2,
∴MD=DN=BD=
,
∴BM=BN=MD=
,
∵四边形BEDF的面积=S△DEB+S△DFB,
∴四边形BEDF的面积=DE×BM+
×DF×BN=
×
×(DE+DF)=
;
解决问题:
(3)如图③,连接AC,BD,过点A作AM⊥CD,AN⊥BC,
∵AB=AD=4km,∠DAB=90°,
∴∠ADB=∠ABD=45°,BD=4km,
∵∠DAB+∠BCD=90°+90°=180°,
∴点A,点B,点C,点D四点共圆,且BD是直径,
∴∠ACM=∠ABD=45°,∠ADB=∠ACB=45°,
∵AM⊥CD,AN⊥BC,
∴∠MAC=∠MCA=45°,∠NAC=∠ACN=45°,
∴AM=CM=AC,AN=CN=
AC,
∵四边形EAFC的面积=S△ACE+S△AFC,
∴四边形EAFC的面积=CE×AM+
×CF×AN=
×AM×(CE+CF)=
AC×4=
AC,
∴当AC为最大值时,四边形EAFC的面积有最大值,
∵AC是以BD为直径的圆中的弦,
∴AC的最大值为直径,
∴当AC=4km,四边形EAFC的面积最大值为8km2.
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【题目】某批发城在冬天到来之际进了一批保暖衣,男生的保暖衣每件价格60元,女生的保暖衣每件价格40元,第一批共购买100件.
(1)第一批购买的保暖衣的总费用不超过5400元,求女生保暖衣最少购买多少件?
(2)第二批购买保暖衣,购买男、女生保暖衣的件数比为,价格保持第一批的价格不变;第三批购买男生保暖衣的价格在第一批购买的价格上每件减少了
元 ,女生保暖衣的价格比第一批购买的价格上每件增加了
元,男生保暖衣的数量比第二批增加了
,女生保暖衣的数量比第二批减少了
,第二批与第三批购买保暖衣的总费用相同,求
的值.
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【题目】如图,直径为10的⊙O经过原点O,并且与x轴、y轴分别交于A、B两点,线段OA、OB(OA>OB)的长分别是方程x2+kx+48=0的两根.
(1)求线段OA、OB的长;
(2)已知点C在劣弧OA上,连结BC交OA于D,当OC2=CD·CB时,求C点的坐标;
(3)在⊙O上是否存在点P,使S△POD=S△ABD.若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.
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【题目】随着天气的逐渐炎热(如图1),遮阳伞在我们的日常生活中随处可见如图2所示,遮阳伞立柱OA垂直于地面,当将遮阳伞撑开至OD位置时,测得∠ODB=45°,当将遮阳伞撑开至OE位置时,测得∠OEC=30°,且此时遮阳伞边沿上升的竖直高度BC为20cm,求若当遮阳伞撑开至OE位置时伞下阴凉面积最大,求此时伞下半径EC的长.(结果保留根号)
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【题目】在△ABC中,AB=AC,点D为边BC上一点,且AD平分∠BAC,DE⊥AB于点E,DF⊥AC于点F.
(1)求证:BE=CF;
(2)若∠B=40°,求∠ADF的度数.
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【题目】如图,△ABC在平面直角坐标系中,点A、B分别在x轴和y轴上,且OA=OB,边AC所在直线解析式为y=x﹣
,若△ABC的内心在y轴上,则tan∠ACB的值为( )
A.B.
C.
D.
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【题目】如图,边长为1的正方形ABCD的对角线AC、BD相交于点O.有直角∠MPN,使直角顶点P与点O重合,直角边PM、PN分别与OA、OB重合,然后逆时针旋转∠MPN,旋转角为θ(0°<θ<90°),PM、PN分别交AB、BC于E、F两点,连接EF交OB于点G,则下列结论中正确的是 .
(1)EF=OE;(2)S四边形OEBF:S正方形ABCD=1:4;(3)BE+BF=
OA;(4)在旋转过程中,当△BEF与△COF的面积之和最大时,AE=
;(5)OGBD=AE2+CF2.
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【题目】如图,抛物线y=x2+x﹣4与x轴交于A,B(A在B的左侧),与y轴交于点C,抛物线上的点E的横坐标为3,过点E作直线l1∥x轴.
(1)点P为抛物线上的动点,且在直线AC的下方,点M,N分别为x轴,直线l1上的动点,且MN⊥x轴,当△APC面积最大时,求PM+MN+EN的最小值;
(2)过(1)中的点P作PD⊥AC,垂足为F,且直线PD与y轴交于点D,把△DFC绕顶点F旋转45°,得到△D'FC',再把△D'FC'沿直线PD平移至△D″F′C″,在平面上是否存在点K,使得以O,C″,D″,K为顶点的四边形为菱形?若存在直接写出点K的坐标;若不存在,说明理由.
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