Question

3．在△ABC 中，AB=AC，∠A=30°，将线段BC绕点B逆时针旋转60°得到线段BD，再将线段BD平移到EF，使点E在AB上，点F在AC上．
（1）如图1，直接写出∠ABD和∠CFE的度数；
（2）在图1中证明：AE=CF；
（3）如图2，连接CE，判断△CEF的形状并加以证明．

Answer 1

分析 （1）根据旋转的性质得出∠DBC=60°，再根据等腰三角形得出∠ABC=75°，解答即可．
（2）根据全等三角形的判定和性质证明即可；
（3）根据等腰直角三角形的判定进行判断和证明即可．

解答 解：（1）∵线段BC绕点B逆时针旋转60°得到线段BD，
∴∠DBC=60°，
∵AB=AC，∠A=30°，
∴∠ABC=75°，
∴∠ABD=15°，
∴∠CFE=45°；
（2）证明：连结CD、DF．
∵线段BC绕点B逆时针旋转60°得到线段BD，
∴BD=BC，∠CBD=60°．
∴△BCD是等边三角形．
∴CD=BD．
∵线段BD平移到EF，
∴EF∥BD，EF=BD．
∴四边形BDFE是平行四边形，EF=CD．
∵AB=AC，∠A=30°，
∴∠ABC=∠ACB=75°．
∴∠ABD=∠ABC-∠CBD=15°=∠ACD．
∴∠DFE=∠ABD=15°，∠AEF=∠ABD=15°．
∴∠AEF=∠ACD=15°．
∵∠CFE=∠A+∠AEF=30°+15°=45°，
∴∠CFD=∠CFE-∠DFE=45°-15°=30°．
∴∠A=∠CFD=30°．
在△AEF和△FCD中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠AEF=∠ACD}\\{∠A=∠CFD}\\{EF=CD}\end{array}\right.$，
∴△AEF≌△FCD（AAS）．
∴ΑE=CF． 
（3）答：△CEF是等腰直角三角形．
证明：过点E作EG⊥CF于G，
∵∠CFE=45°，
∴∠FEG=45°．
∴EG=FG．
∵∠A=30°，∠AGE=90°，
∴EG=$\frac{1}{2}$AE．
∵ΑE=CF，
∴EG=$\frac{1}{2}$CF．
∴FG=$\frac{1}{2}$CF．
∴G为CF的中点．
∴EG为CF的垂直平分线．
∴EF=EC．
∴∠CEF=2∠FEG=90°．
∴△CEF是等腰直角三角形．

点评 本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质以及旋转的性质，综合性较强，熟练掌握定理及性质是解题的关键．