Question

如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（3，2），直线l的解析式为y=x+1，l与x、y轴分别交于点B、C．
（1）求点C的坐标；
（2）求cos∠CBO的值；
（3）在第一象限内，直线l上是否存在点P，使∠OPA=90°？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

解：（1）令x=0，则y=1，则C（0，1）；

（2）令y=0，则0=x+1，
解得，x=-1，
∴B（-1，0），
∴OB=1．
∵由（1）知，C（0，1），
∴OC=1，
∴OB=OC．
∴如图，△OBC是等腰直角三角形，
∴∠CBO=45°，
∴cos∠CBO=；

（3）假设存在点P，使∠OPA=90°．
∵点P在直线y=x+1上，∴设P（m，m+1）（m＞0），
∴在直角△OPA中，根据勾股定理知OP²+PA²=OA²，即m²+（m+1）²+（m-3）²+（m+1-2）²=2²+3²
解得，m=或m=（不合题意，舍去），
∴存在这样的点P，其坐标是（，）．
分析：（1）把点C的横坐标代入直线方程，即可求得点C的纵坐标，则C（0，1）；
（2）将点B的纵坐标代入直线方程即可求得点B的坐标是（-1，0），则易证△BCO的等腰直角三角形，所以根据特殊角的三角形函数值求得cos∠CBO的值；
（3）假设存在P（m，m+1），使∠OPA=90°．则由勾股定理知OP²+PA²=OA²，利用两点间的距离公式即可列出关于m的方程，通过解方程求得点m的值．
点评：本题考查了一次函数综合题．其中涉及到的知识点有：一次函数图象上点的坐标特征，两点间的距离公式，勾股定理的应用等．解答（2）题时，也可以根据锐角三角函数的定义进行解答．