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【题目】如图,二次函数y= x2+bx﹣ 的图象与x轴交于点A(﹣3,0)和点B,以AB为边在x轴上方作正方形ABCD,点P是x轴上一动点,连接DP,过点P作DP的垂线与y轴交于点E.

(1)请直接写出点D的坐标:
(2)当点P在线段AO(点P不与A、O重合)上运动至何处时,线段OE的长有最大值,求出这个最大值;
(3)是否存在这样的点P,使△PED是等腰三角形?若存在,请求出点P的坐标及此时△PED与正方形ABCD重叠部分的面积;若不存在,请说明理由.

【答案】
(1)(﹣3,4)
(2)

解:设PA=t,OE=l

由∠DAP=∠POE=∠DPE=90°得△DAP∽△POE

∴l=﹣ + =﹣ (t﹣ 2+

∴当t= 时,l有最大值

即P为AO中点时,OE的最大值为


(3)

解:存在.

①点P点在y轴左侧时,DE交AB于点G,

P点的坐标为(﹣4,0),

∴PA=OP﹣AO=4﹣3=1,

由△PAD≌△EOP得OE=PA=1

∵△ADG∽△OEG

∴AG:GO=AD:OE=4:1

∴AG= =

∴重叠部分的面积= =

②当P点在y轴右侧时,P点的坐标为(4,0),

此时重叠部分的面积为


【解析】(1)将点A的坐标代入二次函数的解析式求得其解析式,然后求得点B的坐标即可求得正方形ABCD的边长,从而求得点D的纵坐标;(2)PA=t,OE=l,利用△DAP∽△POE得到比例式,从而得到有关两个变量的二次函数,求最值即可;(3)分点P位于y轴左侧和右侧两种情况讨论即可得到重叠部分的面积.

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B.
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