Question

在平面直角坐标系中，已知点O为坐标原点，点A（0，4）．在y轴右侧作等边△AOB，点B在第一象限．点P是x轴上的一个动点，连接AP，在右侧作等边△ADP，当四边形AODB是梯形时，求点P的坐标．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质,坐标与图形性质,梯形

专题：计算题

分析：先由等边三角形的性质得∠APD=60°，PA=PD，由于四边形AODB是梯形，根据梯形的性质得DP⊥x轴，则∠OAP=∠APD=60°，同时得到∠APO=30°，再利用△AOB为等边三角形得到∠OAB=60°，于是可判断点B在AP上，然后在Rt△AOP中，根据含30度的直角三角形三边的关系得到PA=2OA=8，PO=

3

OA=4

3

，则DP=8，最后写出P点坐标．

解答：解：如图，
∵△ADP为等边三角形，
∴∠APD=60°，PA=PD，
∵四边形AODB是梯形，
∴DP∥y轴，即DP⊥x轴，
∴∠OAP=∠APD=60°，
∴∠APO=30°，
而△AOB为等边三角形，
∴∠OAB=60°，
∴点B在AP上，
在Rt△AOP中，∵OA=4，∠APO=30°，
∴PA=2OA=8，PO=

3

OA=4

3

，
∴DP=8，
∴P点坐标为（4

3

，8）．

点评：本题考查了全等三角形的判定与性质：全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．也考查了坐标与图形性质、含30度的直角三角形三边的关系和等边三角形的性质．