Question

19．抛物线过A（0，t）、B（-2，0）、C（8，0），过A作x轴的平行线交抛物线于一点D．
（1）如图1，求AD的长度；
（2）如图2，若sin∠BAO=$\frac{{\sqrt{5}}}{5}$，P为x轴上方抛物线上的一个动点，△PAC的面积取何值时，相应的P点有且只有两个；
（3）如图3，设抛物线顶点为Q，当60°≤∠BQC≤90°时，求t取值范围．

Answer 1

分析 （1）如图1，利用抛物线的对称性得到抛物线的对称轴为直线x=3，再判断点A与点D为抛物线上的对称点，于是可得AD的长；
（2）在Rt△ABO中，利用正弦定义计算出AB，利用勾股定理计算出OA，从而得到A点坐标，接着利用待定系数法求出抛物线解析式和直线AC的解析式，过点P作PM∥AC，如图2，利用直线PM与抛物线只有唯一公共点和判别式的意义可计算出m，于是得到此时P点和Q点坐标，然后根据三角形面积公式，利用S_△PAC=S_△PAQ+S_△CPQ进行计算即可；
（3）如图3，作QH⊥BC于H，易得Q点的横坐标为3，△QBC为等腰三角形，当∠BQC=60°时，△BCQ为等边三角形，再求出Q点坐标，然后利用待定系数法求出抛物线解析式，从而得到A点坐标，易得此时t的值；当∠BQC=90°时，利用同样方法求t的值．

解答 解：（1）如图1，
∵B（-2，0）和C（8，0）为抛物线上的对应点，
∴抛物线的对称轴为直线x=3，
∵AD∥x轴，
∴点A与点D为抛物线上的对称点，
∴AD=2×3=6；
（2）在Rt△ABO中，∵sin∠BAO=$\frac{BO}{AB}$=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，
∴AB=$\sqrt{5}$OB=2$\sqrt{5}$，
∴OA=$\sqrt{A{B}^{2}-O{B}^{2}}$=$\sqrt{（2\sqrt{5}）^{2}-{2}^{2}}$=4，则A（0，4），
设抛物线解析式为y=a（x+2）（x-8），
把A（0，4）代入得a•2•（-8）=4，解得a=-$\frac{1}{4}$，
∴抛物线解析式为y=-$\frac{1}{4}$（x+2）（x-8），即y=-$\frac{1}{4}$x²+$\frac{3}{2}$x+4，
设直线AC的解析式为y=kx+b，
把A（0，4），C（8，0）代入得$\left\{\begin{array}{l}{b=4}\\{8k+b=0}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{k=-\frac{1}{2}}\\{b=4}\end{array}\right.$，
∴直线AC的解析式为y=-$\frac{1}{2}$x+4，
过点P作PM∥AC，如图2，当直线PM与抛物线只有唯一公共点P时，此时对于△APC的面积所取的值，P点有且只有两个与之对应（两P点在AC的两侧，到AC的距离相等），作PQ∥y轴交AC于Q，
设直线PM的解析式为y=-$\frac{1}{2}$x+m，
则方程-$\frac{1}{4}$x²+$\frac{3}{2}$x+4=-$\frac{1}{2}$x+m有两个相等的实数解，方程整理为x²-8x+4m-16=0，△=（-8）²-4×（4m-16）=0，解得m=8，解方程得x₁=x₂=4，此时P点坐标为（4，6），Q点坐标为（4，2）
S_△PAC=S_△PAQ+S_△CPQ=$\frac{1}{2}$×（6-2）×8=16，
即△PAC的面积为16时，相应的P点有且只有两个；
（3）如图3，作QH⊥BC于H，
∵Q点为顶点，
∴Q点的横坐标为3，△QBC为等腰三角形，
当∠BQC=60°时，△BCQ为等边三角形，则QH=$\frac{\sqrt{3}}{2}$BC=5$\sqrt{3}$，
则Q（3，5$\sqrt{3}$），
设抛物线解析式为y=a（x+2）（x-8），
把Q（3，5$\sqrt{3}$）代入得a•5•（-5）=5$\sqrt{3}$，解得a=-$\frac{\sqrt{3}}{5}$，
∴抛物线解析式为y=-$\frac{\sqrt{3}}{5}$（x+2）（x-8），即y=-$\frac{\sqrt{3}}{5}$x²+$\frac{6\sqrt{3}}{5}$x+$\frac{16\sqrt{3}}{5}$，
当x=0时，y=-$\frac{\sqrt{3}}{5}$x²+$\frac{6\sqrt{3}}{5}$x+$\frac{16\sqrt{3}}{5}$=$\frac{16\sqrt{3}}{5}$，则A（0，$\frac{16\sqrt{3}}{5}$），此时t的值为$\frac{16\sqrt{3}}{5}$，
当∠BQC=90°时，△BCQ为等腰直角三角形，则QH=$\frac{1}{2}$BC=5，
则Q（3，5），
设抛物线解析式为y=a（x+2）（x-8），
把Q（3，5）代入得a•5•（-5）=5，解得a=-$\frac{1}{5}$，
∴抛物线解析式为y=-$\frac{1}{5}$（x+2）（x-8），即y=-$\frac{1}{5}$x²+$\frac{6}{5}$x+$\frac{16}{5}$，
当x=0时，y=-$\frac{1}{5}$x²+$\frac{6}{5}$x+$\frac{16}{5}$=$\frac{16}{5}$，则A（0，$\frac{16}{5}$），此时t的值为$\frac{16}{5}$，
∴当60°≤∠BQC≤90°时，t取值范围为$\frac{16}{5}$≤t≤$\frac{16\sqrt{3}}{5}$．

点评 本题考查了二次函数综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质、等边三角形的性质和等腰直角三角形的性质；会利用待定系数法求二次函数和一次函数解析式；会利用判别式判断直线与抛物线的交点个数；理解坐标与图形性质，记住三角形面积公式．