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【题目】如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,D是BC延长线上的一点,线段BD的垂直平分线EG交AB于点E,交BD于点G.

(1)当∠B=30°时,AE和EF有什么关系?请说明理由.

(2)当点D在BC的延长线上(CD<BC)运动时,点E是否在线段AF的垂直平分线上?

【答案】(1)AE=EF(2)点E是在线段AF的垂直平分线上

【解析】

1)根据线段垂直平分线性质得出DE=BE,求出∠D=B=30°,根据三角形内角和定理和三角形外角性质求出∠A=DEA=60°,即可得出答案.
2)求出∠A=AFE,根据线段垂直平分线性质得出即可.

解:

(1)AE=EF.理由如下:

∵线段BD的垂直平分线EGAB于点E,BD于点G,

DE=BE

∵∠B=30°,

∴∠D=B=30°

∴∠DEA=D+B=60°,

∵在RtABC,ACB=90°,B=30°,

∴∠A=60°,

∴∠A=DEA=60°,

∴△AEF是等边三角形,

AE=EF.

(2)E是在线段AF的垂直平分线上.理由如下:

∵∠B=D,ACB=90°=FCD,

∴∠A=DFC,

∵∠DFC=AFE,

∴∠A=AFE,

EF=AE,

∴点E在线段AF的垂直平分线上.

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