Question

3．如图，己知以E（3，0）为圆心，以5为半径的⊙E与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，抛物线y=ax²+bx+c经过A、B、C三点，顶点为F．
（1）求抛物线的解析式及顶点F的坐标．
（2）已知M为抛物线上一动点（不与C点重合）试探究：使得以A、B、M为顶点的三解形面积与△ABC的面积相等．求所有符合条件的点M的坐标．

Answer 1

分析 （1）首先连接CE，由以E（3，0）为圆心，以5为半径的⊙E与x轴交于A、B两点，可求得A，B的坐标，然后由勾股定理求得OC的长，即求得点C的坐标，然后利用交点式，求得抛物线的解析式，继而求得顶点F的坐标．
（2）由以A、B、M为顶点的三解形面积与△ABC的面积相等，可求得点M的纵坐标为±4，继而求得答案．

解答 解：（1）连接CE，
∵以E（3，0）为圆心，以5为半径的⊙E与x轴交于A、B两点，
∴OE=3，AE=BE=5，AE=BE=CE=5，
∴OA=AE-OE=2，OB=OE+BE=8，
∴A（-2，0），B（8，0），
在Rt△COE中，OC=$\sqrt{C{E}^{2}-O{E}^{2}}$=4，
∴点C的坐标为：（0，-4），
设抛物线的解析式为：y=a（x+2）（x-8），
把点C（0，-4）代入得：-16a=-4，
解得：a=$\frac{1}{4}$，
∴抛物线的解析式为：y=$\frac{1}{4}$（x+2）（x-8）=$\frac{1}{4}$x²-$\frac{3}{2}$x-4=$\frac{1}{4}$（x-3）²-$\frac{25}{4}$，
∴顶点F的坐标为：（3，-$\frac{25}{4}$）；

（2）解：∵S_△ABC=$\frac{1}{2}$AB•OC，S_△ABM=$\frac{1}{2}$AB•|y_M|，S_△ABC=S_△ABM，
∴|y_M|=4，
即y_M=±4，
若y_M=-4时，$\frac{1}{4}$（x-3）²-$\frac{25}{4}$=-4，解得：x_M=0或6，
又∵x_M≠0，
∴M（6，-4）；
若y_M=4时，$\frac{1}{4}$（x-3）²-$\frac{25}{4}$=4，解得：x_M=3±$\sqrt{41}$，
即M（3+$\sqrt{41}$，4）或M（3-$\sqrt{41}$，4），
综上所述，M点的坐标为（6，-4）或（3+$\sqrt{41}$，4）或（3-$\sqrt{41}$，4）．

点评 此题属于圆的综合题．考查了待定系数求二次函数解析式、垂径定理以及三角形面积问题．注意准确作出辅助线，求得点C的坐标是解此题的关键．