Question

12．如图①，抛物线y=ax²+bx+c与x轴正半轴交于点A，B两点，与y轴交于点C，直线y=-x+2经过A，C两点，且AB=2．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若直线DE平行于x轴，并从点C开始以每秒1个单位长度的速度沿y轴负半轴方向平移，且分别交y轴、线段BC于点E，D两点，同时动点P从点B出发，向BO方向以每秒2个单位长的速度运动（如图②），连接DP，设点P的运动时间为t秒（t＜2），若以P，B，D为顶点的三角形与△ABC相似，求t的值；
（3）在（2）的条件下，若△EDP是等腰三角形，求t的值．

Answer 1

分析 （1）求出A、B两点坐标，可以设抛物线为y=a（x-2）（x-4），把点C坐标代入即可求出a．
（2）分两种情形①当△DBP∽△CBA时，$\frac{DB}{CB}$=$\frac{BP}{BA}$，②当△DBP∽△ABC时，$\frac{DB}{AB}$=$\frac{BP}{BC}$，列出方程即可解决．
（3）分三种情形①当DE=EP ②当DE=DP③当EP=DP，分别列出方程即可解决问题．

解答 解：（1）在y=-x+2中，令x=0，y=2；令y=0，x=2，得A（2，0），C（0，2），
又∵AB=2，
∴B（4，0），
∴设抛物线为y=a（x-2）（x-4），把C点坐标代入，得8a=2，a=$\frac{1}{4}$，
∴抛物线解析式为y=$\frac{1}{4}$x²-$\frac{3}{2}$x+2．
（2）∵AB=2，AC=2$\sqrt{2}$，BC=2$\sqrt{5}$．BP=2t，CE=t，
又∵DE∥x轴，
∴$\frac{CE}{CO}$=$\frac{CD}{CB}$，
∴$\frac{t}{2}$=$\frac{CD}{2\sqrt{5}}$，
∴CD=$\sqrt{5}$t，
∴DB=2$\sqrt{5}$-$\sqrt{5}$t．
当△DBP∽△CBA时，$\frac{DB}{CB}$=$\frac{BP}{BA}$，
∴$\frac{\sqrt{5}（2-t）}{2\sqrt{5}}$=$\frac{2t}{2}$，
∴t=$\frac{2}{3}$；    
当△DBP∽△ABC时，$\frac{DB}{AB}$=$\frac{BP}{BC}$，
∴$\frac{\sqrt{5}（2-t）}{2}$=$\frac{2t}{2\sqrt{5}}$，
∴t=$\frac{10}{7}$．
（3）∵DE∥OB，
∴$\frac{DE}{OB}$=$\frac{CE}{CO}$，∵CE=t
∴DE=2t，
∵直线BC为y=-$\frac{1}{2}$x+2，
∴D（2t，-t+2），E（0，2-t），P（4-2t，0），
EP=$\sqrt{O{E}^{2}+O{P}^{2}}$=$\sqrt{5}$（2-t），DP=$\sqrt{（4-4t）^{2}+（2-t）^{2}}$；
①当DE=EP时，2t=-$\sqrt{5}$t+2$\sqrt{5}$，∴t=2$\sqrt{5}$（$\sqrt{5}$-2）=10-4$\sqrt{5}$＜2；    
②当DE=DP时，4t²=t²-4t+4+16t²-32t+16，
13t²-36t+20=0，t₁=$\frac{10}{13}$＜2，t₂=2（舍）；                                                
③当EP=DP时，5（2-t）²，=16（1-t）²+（2-t）²，
2-t=±2（1-t），
t₁=$\frac{4}{3}$＜2，t₂=0（舍）．
综上所述，符合条件的t值有：t₁=10-4$\sqrt{5}$，t₂=$\frac{10}{13}$，t₃=$\frac{4}{3}$．

点评 本题考查二次函数、一次函数、勾股定理、平行线分线段成比例定理、相似三角形的判定和性质等知识，学会分类讨论的思想是解决问题的关键，学会转化的数学思想，利用相似三角形性质把问题转化为方程解决，属于中考压轴题．