Question

【题目】如图，在矩形ABCD中，AB=3，BC=4，点E在AD上，BE与AC交于点F.

（1）若AC⊥BE,求AE的长 ；

（2）设△DEF和△DCF的面积分别为S1和S2，当AE=m时,求S1：S2；

（3）当AE的长是多少时，△DCF是等腰三角形？

Answer 1

【答案】（1）；（2）S1：S2=m(4-m):16；（3）、4、.

【解析】

（1）利用已知条件，得到，，得到，代入求值可得到AE.

（2）过F作BC,AD的垂线，长度分别为h1和h2，根据△AEF∽△CBF和△AGF∽△CBA，得到可以求得代入可得到比值.

（3）分三种情况进行讨论，分别是CD=CF=3，DF=CF，DF=CD=3分开讨论即可得到结果.

（1）∵四边形ABCD是矩形;

∴△ABE是直角三角形;

又∵AC⊥BE,

∴∠AFB=90°,

∴∠ABE+∠AEB=∠ABE+∠BAC=90°.

∴∠AEB=∠BAC

∴,

∴;

∴

（2）

过F作BC,AD的垂线，长度分别为h1和h2,

∵△AEF∽△CBF,

∴,

∵h1+h2=3,

∴

又∵△AGF∽△CBA，

∴

∴

∴

∴S1：S2=

∴S1：S2=m(4-m):16

（3）本题分三种情况：①当CD=CF=3时，AF=2，由（1）得AE:BC=AF:FC，∴AE=；

②当DF=CF时，F为AC的中点，此时E、D重合，∴AE=4；

③当DF=CD=3时，作DM⊥AC于G，则CM=FM=，AF=，

由（1）得AE:BC=AF:FC，∴AE=

综上，AE=、4、