Question

【题目】已知⊙O及⊙O上一点P，过点P作⊙O的切线.

小明设计了如下尺规作法：

①连接OP，以点P为圆心，OP长为半径画弧交⊙O于点A；

②连接OA，延长OA到B，使AB=OA，作直线PB.则直线即为所求作.

（1）请证明小明作法的正确性；

（2）请你自己再设计一种尺规作图方法（保留痕迹，不要证明）.

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）见解析；

【解析】

（1）连接，证出即可；

（2）先作一条射线OP，然后在OP外取一点A, 再以点A为圆心，AP为半径作圆，与射线OP交于另一点B，连接并延长BA与⊙A交于点C，连接PC即可．

证明：（1）连接，由题意可知：，

∴是等边三角形，

∴，

∵，

∴，且，

∴

∴，即：,

∴，

即：为⊙O的切线；

（2）解：作法：

①作射线OP；

②在射线OP外任取一点A, 以点A为圆心，AP为半径作⊙A，与射线OP交于另一点B；

③连接并延长BA与⊙A交于点C；

④作直线PC；

则直线PC即为所求．如下图所示：

证明：∵BC是⊙A的直径，

∴∠BPC=90° (圆周角定理 ) ，

即OP⊥PC，

又∵OP是⊙O的半径，

∴PC是⊙O的切线(切线的判定) ．