Question

【题目】在平面内，对于给定的，如果存在一个半圆或优弧与的两边相切，且该弧上的所有点都在的内部或边上，则称这样的弧为的内切弧．当内切弧的半径最大时，称该内切弧为的完美内切弧．（注：弧的半径指该弧所在圆的半径）

在平面直角坐标系中，．

（1）如图1，在弧，弧，弧中，是的内切弧的是____________；

（2）如图2，若弧G为的内切弧，且弧G与边相切，求弧G的半径的最大值；

（3）如图3，动点，连接．

①直接写出的完美内切弧的半径的最大值；

②记①中得到的半径最大时的完美内切弧为弧T．点P为弧T上的一个动点，过点P作x轴的垂线，分别交x轴和直线于点D，E，点F为线段的中点，直接写出线段长度的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）弧，弧．（2）3． （3）①． ②且．

【解析】

（1）根据内切弧定义即可解答；

（2）由内切弧定义可知弧G所在圆的圆心上的角平分线上，弧G的半径最大时其圆心I在的边上．再由勾股定理即可计算出半径最大值；

解：（1）由图可知，弧是半圆，弧是优弧，它们与的两边相切，且该弧上的所有点都在的内部或边上，故弧，弧是的内切弧；而弧只与一边相切，而且是劣弧，故弧不是的内切弧；，

弧，弧．

（2）∵弧G为的内切弧，且弧G与边相切，

∴弧G所在圆的圆心上的角平分线上．

易知若弧G的半径最大，则弧G所在圆的圆心I在的边上．设弧G与边相切分别切于点O，H．

∴．

∵，

∴．

∵，

∴．

∴．

∴．

在中，，即．

解得．

（3）①的完美内切弧半径的最大值为．

理由如下：由内切弧定义可知，内切弧的圆心在相切两边的夹角的角平分线上，而完美内切弧的圆心在最大内角的角平分线与其对边的交点上，

动点在 ，

∵，

则有垂直平分OB，
∴MO=MB，
∴MB+MA=MO+MA．
根据两点之间线段最短可得：当B、M、A三点共线时，即M点在AB的中点(4,3)，MO+MA取到最小值，最小值为AB长=10．

I.当内切弧与OM、MA相切时，如图：

设的完美内切弧半径为r，
∵ =12，且，
∴
∴．
当MO+MA取最小值10时，此时r取到最大值，最大值为．

II.当完美内切弧与OM、OA相切时，或与MA、OA相切时，相切两边的和为：，，

同理可知，这两种情况的内切弧的半径最大值小于完美内切弧与OM、MA相切时的半径．

综上所述：的完美内切弧是内切弧与OM、MA相切时的半径的最大值为

②线段长度的取值范围是且．

由①可知：的完美内切弧的圆心O坐标为（4,0），半径为，

由图解3-2-1，解3-2-2，解3-2-3，解3-2-4，可知，当DE经过切点Q的时候，DF最大为3；

由图解3-2-5可知，当DE与半圆右侧相切的时候，DF最小为 ；

而当ED经过AB与半圆相切的切点时，此时F点不存在，DF= ,

∴线段长度的取值范围是且．