Question

【题目】如图，正方形ABCD内部有若干个点，则用这些点以及正方形ABCD的顶点A、B、C、D把原正方形分割成一些三角形（互相不重叠）：

（1）填写下表：

正方形ABCD内点的个数	1	2	3	4	．．．	n
分割成三角形的个数	4	6	_____	_____	．．．	_____

（2）原正方形能否被分割成2021个三角形？若能，求此时正方形ABCD内部有多少个点？若不能，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）8，10，2n+2；（2）原正方形不能被分割成2021个三角形，理由见详解．

【解析】

（1）由图形中三角形的个数，观察发现，每多一个点，三角形的个数增加2，然后据此规律填表即可；
（2）根据（1）中规律，列式求解，如果n是整数，则能分割，如果不是整数，则不能分割．

（1）有1个点时，内部分割成4个三角形；

有2个点时，内部分割成4+2=6个三角形；

有3个点时，内部分割成4+2×2=8个三角形；

有4个点时，内部分割成4+2×3=10个三角形；

…

以此类推，有n个点时，内部分割成4+2×(n1)=(2n+2)个三角形，

填表如下：

正方形ABCD内点的个数	1	2	3	4	．．．	n
分割成三角形的个数	4	6	___8__	___10__	．．．	____2n+2_

故答案是：8，10，2n+2；

（2）不能，理由如下：

理由如下：由(1)知2n+2=2021，

解得：n=1009.5，不是整数，不符合题意，

∴原正方形不能被分割成2021个三角形．