Question

【题目】如图，在中，AB<AC，点D、F分别为BC、AC的中点，E点在边AC上，连接DE，过点B作DE的垂线交AC于点G，垂足为点H，且与四边形ABDE的周长相等，设AC=b，AB=c．

（1）求线段CE的长度；

（2）求证：DF=EF；

（3）若，求的值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）见详解；（3）

【解析】

（1）根据题意得：AE+AB=CE，结合AB+AC=b+c，进而即可求解；

（2）根据中位线的性质和定义得DF =c，CF=b，结合CE=，可得EF的长，进而即可得到结论；

（3）连接BE、DG，设BG，DF交于点M，易得BE∥DG，从而得△ABE∽△FDG，进而得FG=(bc)，再证∠EGH=∠ABG，从而得AB=AG=c，结合CF=FG+CG，得到关于b，c的等式，即可得到结论．

（1）∵与四边形ABDE的周长相等，点D为BC的中点，

∴AE+AB=CE，

∵AE+AB+CE=AB+AC=b+c，

∴CE==；

（2）∵点D、F分别为BC、AC的中点，

∵DF是△CAB的中位线，

∴DF=AB=c，AF=CF=AC=b，

∵CE=，

∴EF=CE-CF=b =c，

∴DF=EF；

（3）连接BE、DG，设BG，DF交于点M，

∵S△BDH=S△EGH，

∴S△BDG=S△DEG，

∴BE∥DG，

∴∠EBC=∠GDC，

∵DF是△CAB的中位线，

∴DF∥AB，

∴∠ABC=∠FDC，∠A=∠DFC，

∴∠ABC-∠EBC=∠FDC-∠GDC，即：∠ABE=∠FDG，

∴△ABE∽△FDG，

∴，

∵AE=AC-CE=b-=(bc)

∴FG=AE=×(bc)=(bc)，

∵DF=EF，

∴∠FED=∠FDE，

∵BG⊥DE，

∴∠FED+∠EGH=∠FDE+∠DMH=90°，

∴∠EGH=∠DMH，

又∵∠DMH=∠FMG，

∴∠EGH=∠FMG，

又∵∠FMG=∠ABG，

∴∠EGH=∠ABG，

∴AB=AG=c，

∴CG=bc，

∴CF=b=FG+CG=(bc)+(bc)，

∴3b=5c，

∴=．