Question

【题目】抛物线的对称轴为直线，且顶点在轴上，与轴的交点为，点的坐标为，点在抛物线的对称轴上，直线与直线相交于点．

（1）求该抛物线的函数表达式．

（2）点是（1）中图象上的点，过点作轴的垂线与直线交于点．试判断是否为等腰三角形，并说明理由．

（3）作于点，当点从横坐标2013处运动到横坐标2019处时，请求出点运动的路径长．

Answer 1

【答案】（1）抛物线的函数表达式为；（2）是等腰三角形，理由见解析；（3）点的运动路径长为3．

【解析】

（1）由题意可知抛物线的顶点坐标，进而可设抛物线的顶点表达式，再将点A坐标代入计算即可；

（2）设点的坐标为，则，利用勾股定理可求得PB长，再利用P、D坐标可求得PD长，进而证得是等腰三角形；

（3）设直线与轴的交点为，则，先证得是的中位线，进而可知点在轴上运动，再通过点P横坐标的变化可求得CD的长度变化，进而求得点E的路径长．

（1）根据题意得抛物线的顶点坐标为，

所以设抛物线的函数表达式为，

把点的坐标代入得：，解得，

∴抛物线的函数表达式为

（2）是等腰三角形；

理由：设点的坐标为，则点D坐标为，

∵点的坐标为，点B坐标为，

∴，

∵点的坐标为，点D坐标为，

∴，

∴，

∴是等腰三角形；

（3）如图所示：

∵，，

∴，

即点E为BD中点，

设直线与轴的交点为，则，

∴，

∴点F为BC中点，

∴是的中位线，

∴，，

∴点在轴上运动，

∴当的横坐标为2013时，，此时，

当的横坐标为2019时，，此时，

∴点的运动路径长为：．