Question

【题目】如图1，点P是平面内任意一点，点A，B是上不重合的两个点，连结．当时，我们称点P为的“关于的关联点”．

（1）如图2，当点P在上时，点P是的“关于的关联点”时，画出一个满足条件的，并直接写出的度数；

（2）在平面直角坐标系中有点，点M关于y轴的对称点为点N．

①以点O为圆心，为半径画，在y轴上存在一点P，使点P为“关于的关联点”，直接写出点P的坐标；

②点是x轴上一动点，当的半径为1时，线段上至少存在一点是的“关于某两个点的关联点”，求m的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）详见解析；（2）①或；②

【解析】

（1）由题意当点P在在上时，点P是的“关于的关联点”时，则圆心角∠ACB=120°，由此作图即可；

（2）①设点P（0，y），连接MP，NP，MN交y轴于点Q，由题意及对称性可得△PMN为等边三角形，然后根据锐角三角函数值求PQ的长，从而确定点P的坐标；

②考虑临界情况，即恰好M、N点为⊙D的关联时，确定点D的坐标，从而求其取值范围．

解：（1）补全图形

由题意可知，∠APB=60°，点P在圆上

∴∠ACB=120°

（2）①设点P（0，y），连接MP，NP，MN交y轴于点Q

由题意可知，∠MPN=60°

又∵点M关于y轴的对称点为点N

∴△PMN为等边三角形

∴在Rt△MPQ中，

，解得：或0

∴或

②当点D位于M点右侧且点M在圆上时，此时m有最大值，

由题意可知，此时∠OMD=60°，∴m=2

当点D位于N点左侧且点N在圆上时，此时m有最小值，

由题意可知，此时∠OMD=60°，∴m=-2

∴