Question

【题目】如图1，矩形OABC的顶点O是直角坐标系的原点，点A、C分别在x轴、y轴上，点B的坐标为（8，4），将矩形OABC绕点A顺时针旋转得到矩形ADEF，D、E、F分别与B、C、O对应，EF的延长线恰好经过点C，AF与BC相交于点Q．

（1）证明：△ACQ是等腰三角形；

（2）求点D的坐标；

（3）如图2，动点M从点A出发在折线AFC上运动（不与A、C重合），经过的路程为x，过点M作AO的垂线交AC于点N，记线段MN在运动过程中扫过的面积为S；求S关于x的函数关系式．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）

【解析】

（1）想办法证明∠QCA＝∠QAC即可解决问题．

（2）设CQ＝AQ＝x，利用勾股定理求出x，如图1中，过点D作DH⊥x轴于H．利用相似三角形的性质求出AH，DH即可解决问题．

（3）分两种情形：①当0＜x≤8时，如图2中，延长MN交AO于H，作QJ∥AB交AC于J．利用相似三角形的性质求出AH，MN即可解决问题．②当8＜x＜12时，如图3中，作QJ∥AB交AC于J，作EK∥AB交BC于T，设MN交BC于R．利用相似三角形的性质求出MN，AR即可解决问题．

（1）证明：∵四边形OABC，四边形FADE都是矩形，

∴∠AOC＝90°，∠AFE＝∠AFC＝90°，BC∥OA，

∵∠CFA＝∠AOC＝90°，AC＝AC，AO＝AF，

∴Rt△ACO≌Rt△ACF（HL），

∴∠CAO＝∠CAF，

∵BC∥OA，

∴∠BCA＝∠CAO，

∴∠BCA＝∠ACF，

∴QC＝QA，

∴△ACQ是等腰三角形．

（2）解：设CQ＝AQ＝x，

∵B（8，4），

∴BC＝8，AB＝4，

在Rt△AQB中，∵AQ2＝BQ2+AB2，

∴x2＝（8﹣x）2+42，

∴x＝5，

∴BQ＝3，

如图1中，过点D作DH⊥x轴于H．

∵∠QAD＝∠BAH＝90°，

∴∠QAB＝∠DAH，

∵∠B＝∠AHD＝90°，

∴△ABQ∽△AHD，

∴，

∴，

∴AH＝，DH＝，

∴OH＝OA+AH＝8+＝，

∴D（）．

（3）①当0＜x≤8时，如图2中，延长MN交AO于H，作QJ∥AB交AC于J．

∵QJ∥AB，

∴，

∴，

∴QJ＝，

∵MN∥QJ，

∴△AMN∽△AQJ，

∴，

∴

∴MN＝，AH＝，

∴S＝MNAH＝·x·＝x2．

②当8＜x＜12时，如图3中，作QJ∥AB交AC于J，作EK∥AB交BC于T，设MN交BC于R．

∵FK∥AB，JQ∥AB，

∴FK∥JQ，

∴△AQJ∽△AFK，

∴，

∴，

∴FK＝4，BT＝，

∴CT＝BC﹣BT＝8﹣＝，

∵MN∥FK，

∴△CMN∽△CFK，

∴，

∴，

∴MN＝12﹣x，CR＝（12﹣x），

∴S＝S△ACF﹣S△AFK＝×4×12﹣×（12﹣x）×（12﹣x）＝．

综上所述，S＝．