Question

【题目】某商场经销一种成本价为20元/件的商品，已知销售价不低于成本价，且物价部门规定这种产品的销售价不高于成本价的1.8倍，在试销售过程中发现每天的销量y（件）与售价x（元/件）之间满足一次函数关系，对应关系如下表所示：

（1）求y与x之间的函数表达式，并写出自变量x的取值范围；

（2）该商场销售这种商品每天所获得的利润为w元，若每天销售这种商品需支付人员工资、管理费等各项费用共200元，求w与x之间的函数表达式；并求出这种商品销售单价定为多少时，才能使商场每天获取的利润最大？最大利润是多少？

Answer 1

【答案】（1）；（2），销售单价定为36元/件时，利润最大，最大为888元

【解析】

（1）设y与x之间的函数表达式为y＝kx+b，利用待定系数法求得函数解析式，再根据销售价不高于成本价的1.8倍，可得自变量x的取值范围；

（2）根据（售价﹣成本）×销售数量＝销售利润，列出函数关系式，然后配方，写成顶点式，根据二次函数的性质及问题的实际意义，可得答案．

解：（1）设y与x之间的函数表达式为y＝kx+b，根据题意得：，

解得：，

∴y＝﹣2x+140，

又20×1.8＝36，

∴自变量x的取值范围是20≤x≤36；

（2）w＝（x﹣20）y﹣200

＝（2﹣20）（﹣2x+140）﹣200

＝﹣2x2+180x﹣3000

＝﹣2（x﹣45）2+1050，

∵﹣2＜0，

∴抛物线开口向下，当x＜45时，w随x的增大而增大，

又20≤x≤36，

∴当x＝36时，w取得最大值，最大值为：

﹣2（36﹣45）2+1050＝﹣2×81+1050＝888（元）．

∴w与x之间的函数表达式为w＝﹣2x2+180x﹣3000，这种商品销售单价定为36元/件时，才能使商场每天获取的利润最大，最大利润是888元．