Question

12．已知抛物线y=-x²+2x+m．
（1）如果抛物线过点A（3，0），与y轴交于点B，求抛物线的解析式及点B、C的坐标；
（2）如图，直线AB与这条抛物线的对称轴交于点P，求直线AB的表达式和点P的坐标．
（3）该抛物线有一点D（x，y），使得S_△ABC=S_△ACD，求点D的坐标．

Answer 1

分析 （1）代入A点的坐标求得m的值即可求得解析式，分别令x=0和y=0，列出方程，解方程即可求得B、C的坐标；
（2）根据待定系数法求得直线AB的解析式，求得抛物线的对称轴x=1，把x=1代入直线的解析式即可求得P的坐标；
（3）根据面积相等且底边相等的三角形的高也应该相等得出D的纵坐标为±3，代入抛物线的解析式即可求得．

解答 解：（1）∵抛物线过点A（3，0），
∴0=-9+6+m，
解得m=3，
∴抛物线的解析式为y=-x²+2x+3，
令y=0，则，-x²+2x+3=0，
解得x₁=3，x₂=-1，
∴C（-1，0），
令x=0，得y=3，
∴B（0，3）；
（2）∵A（3，0），B（0，3），
设直线AB的解析式为y=kx+b，
∴$\left\{\begin{array}{l}{3k+b=0}\\{b=3}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{k=-1}\\{b=3}\end{array}\right.$，
∴直线AB的解析式为y=-x+3，
∵抛物线y=-x²+2x+3=-（x-1）²+4，
∴对称轴x=1，
把x=1代入y=-x+3得y=2，
∴P（1，2）；
（3）根据题意得D的纵坐标为±3，
把y=3代入y=-x²+2x+3得，-x²+2x+3=3，
解得x=0或2，
把y=-3代入y=-x²+2x+3得，-x²+2x+3=-3，
解得x=1$±\sqrt{7}$，
∴D的坐标为（2，3）或（1-$\sqrt{7}$，-3）或（1+$\sqrt{7}$，-3）．

点评 本题考查了待定系数法求一次函数的解析式和二次函数的解析式，一次函数和二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握待定系数法是解题的关键．