Question

7．在平面坐标系xOy中，直线y=-$\sqrt{3}$x+3与x、y轴交于点A、B，作△AOB为外接⊙E．将直角三角板的30°角的顶点C摆放在圆弧上，三角板的两边始终过点O、A，并且不断地转动三角板．

（1）如图1，当点C与B重合时，连接OE，求扇形EOA的面积；
（2）当S_△AOC=$\frac{3}{4}$$\sqrt{3}$时，求经过A、O、C三点的抛物线的解析式，直接写出顶点坐标；
（3）如图2，在转动中，过C作的切线，交y轴于D，当A、C、D、B四点围成的四边形是梯形时，求点D的坐标．

Answer 1

分析 （1）由函数的解析式y=-$\sqrt{3}$x+3求出点A．B的坐标，OA=$\sqrt{3}$，OB=3，根据三角函数求出圆的直径，圆心角，得出扇形EOA的面积；
（2）根据S_△AOC=$\frac{3}{4}$$\sqrt{3}$时，列方程求出点C的坐标，应用待定系数法求出二次函数的解析式；
（3）由四边形ACDB是梯形，得AB∥CD或AC∥BD，当AB∥CD时，分两种情况，一种是点C在y轴的右侧，一种是点C在y轴的左侧，连接CE，过B作BF⊥CD于F，因为CD是⊙E的切线，得到CE⊥CD，BF∥CE，因为AB∥CD得到BF=CE=$\sqrt{3}$，∠D=∠ABO=30°，求出OD，当AC∥BD，求得∠OAC=90°，∠COD=∠ACO=30°所以OC是圆的直径，OD=OCcos30°=4，问题得求．

解答 解：（1）如图1，在y=-$\sqrt{3}$x+3中，令x=0，y=3，令y=0，x=$\sqrt{3}$，
∴A（$\sqrt{3}$，0），B（0，3），
∴OA=$\sqrt{3}$，OB=3，
当点C与B重合时，∠ABO=30°，∠OEA=60°AB=2OA=2$\sqrt{3}$，
∴OA=$\sqrt{3}$，
∴S_扇形EOA=$\frac{60{×（\sqrt{3}）}^{2}π}{360}$=$\frac{1}{2}$π；

（2）设点C的纵坐标为m，由题意得；$\frac{1}{2}$$\sqrt{3}$m═$\frac{3}{4}$$\sqrt{3}$，
∴m=$\frac{3}{2}$，
∵OB=3，
∴CE∥OA，
∴C（$\frac{3\sqrt{3}}{2}$，$\frac{3}{2}$），
设经过A、O、C三点的抛物线的解析式：y=ax²+bx+c，
∴$\left\{\begin{array}{l}{0{=（\sqrt{3}）}^{2}a+\sqrt{3}b+c}\\{\frac{3}{2}{=（\frac{3\sqrt{3}}{2}）}^{2}a+\frac{3\sqrt{3}}{2}b+c}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=\frac{2}{3}}\\{b=-\frac{2\sqrt{3}}{3}}\end{array}\right.$，
∴y=$\frac{2}{3}$x²-$\frac{2\sqrt{3}}{3}$x，
∴顶点坐标（$\sqrt{3}$，-2）；

（3）如图2，由题意得四边形ACDB是梯形，
当AB∥CD时，
连接CE，过B作BF⊥CD于F，
∵CD是⊙E的切线，
∴CE⊥CD，
∴BF∥CE，
∵AB∥CD，
∴BF=CE=$\sqrt{3}$，∠D=∠ABO=30°，
∴BD=2$\sqrt{3}$，
∴$OD=3+2\sqrt{3}$，
当点C在$\widehat{BO}$上时，
同理可得：OD=$3-2\sqrt{3}$，
当AC∥BD时，
如图3，当AC∥BD，
则∠OAC=90°，∠COD=∠ACO=30°
∴OC是圆的直径，
∴OD=OCcos30°=4，
∴点D的坐标是（0，4）、（0，3+2$\sqrt{3}$）或（0，3-2$\sqrt{3}$）．

点评 本题主要考查了在平面直角坐标系中求点的坐标，扇形的面积，圆的性质，梯形的性质，待定系数法求二次函数的解析式、顶点坐标，注意有点C的不同位置，求出点D的坐标．