Question

5．如图，在△ABC中，CD⊥AB于D，若a、b、c是三角形的三条边长，c边上的高CD的长是h，下列条件中一定能确定△ABC为直角三角形的是①②④．（只要填写正确的序号）
①∠1=∠A；②c•h=a•b；③∠A=∠2；④a：b：c=3：4：5．

Answer 1

分析 由CD垂直AB于D，由等量代换的知识，易得由①∠1=∠A，可判定△ABC为直角三角形；由相似三角的判定与性质，②c•h=a•b，可判定△ABC为直角三角形，根据③∠A=∠2只能判断△ADC是等腰直角三角形；由勾股定理的逆定理，由④a：b：c=3：4：5，可判定△ABC为直角三角形．

解答 解：∵CD⊥AB于D，
∴∠1+∠B=90°，
∵∠1=∠A，
∴∠A+∠B=90°，
∴∠ACB=90°，故①正确；
∵c•h=a•b，
∴$\frac{AB}{BC}=\frac{AC}{CD}$，
∵∠B=∠B，
∴△ABC∽△BCD，
∴∠ACB=∠CDB=90°，故②正确；
∵CD⊥AB于D，∠A=∠2，
∴∠A=∠2=45°，
但AC≠BC，
∴∠B不一定等于45°，
∴∠ACB不一定等于90°，故③错误；
∵a：b：c=3：4：5，
∴设BC的长为3x，那么AC为4x，AB为5x，由9x²+16x²=25x²，符合勾股定理的逆定理，故④正确．
故答案为：①②④．

点评 此题主要考查直角三角形的判定及相似三角形的判定方法的运用．通过证明把题目中的条件进行转化是解题的关键．